Законы сохранения

Обоснование

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной.

Шарики имеют малые размеры по сравнению с длиной нитей, поэтому будем считать их материальными точками.

При пережигании нити пружина толкает оба шарика, действует на шарики внутренней силой — силой упругости, все внешние силы, действующие на систему двух шариков, направлены вертикально (силы тяжести и натяжения нитей), поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса шариков, поскольку импульс шариков направлен под $90^\circ$ к оси пружины.

В процессе движения каждого шарика на нити к верхней точке своей траектории на каждый из них действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех неотнциальных сил, приложеных к нему. В данному случае единственной силой является сила натяжения нити $\vec{T}$. Заметим, что в каждой точке траектории $\vec{T}$ перпендикулярна $\vec{v}$, где $\vec{v}$ — скорость шарика, поэтому работа силы $\vec{T}$ равна нулю, а механическая энергия каждого шарика на этом участке его движения сохраняется.

Перейдем к решению.

1. После пережигания нити шарики взаимодействуют друг с другом. По закону сохранения импульса $M_1v_1=M_2v_2$.

2. Шарики поднимаются на некоторую высоту. По закону сохранения энергии: $$\frac{M_1v_1^2}{2}=M_1gh_1,\ \ \text{где}\ \ h_1=L_1(1-\cos\alpha);$$ $$\frac{M_2v_2^2}{2}=M_2gh_2,\ \ \text{где}\ \ h_2=L_2.$$

Объединяя формулы, получаем: $$1-\cos\alpha=\frac{M_2^2L_2}{M_1^2L_1},$$ тогда второй шарик отклонится на: $$\alpha=\arccos\left(1-\frac{0{,}2}{2{,}25\cdot 1}\right) =\arccos\left(1-\frac{2}{2{,}25\cdot 0{,}9}\right)\approx 26^\circ.$$

Ответ: $26^\circ$.

Обоснование.

1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

2. Размеры снаряда малы по сравнению с длиной траектории, поэтому снаряд можно описывать моделью материальной точки.

3. Ствол пушки при отдаче движется поступательно, поэтому его движение можно описывать движением материальной точки массой M.

4. Так как выстрел происходит мгновенно и в горизонтальном направлении не действуют\ никакие силы, то в этом направлении выполняется закон сохранения импульса для системы "Снаряд + пушка".

5. По условию задачи доля энергии отдачи пушки расходуется на сжатие пружины. Поэтому потенциальная энергия сжатой пружины равна этой доле кинетической энергии пушки сразу после выстрела.

6. После вылета из пушки снаряд будет двигаться только под действием силы тяжести (сопротивление воздуха в условиях данной задачи пренебрегаем), значит, будем описывать движение снаряда при помощи формул кинематики. При этом по вертикали тело движется равноускоренно с ускорением g поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равноускоренного движения, по горизонтали никакие силы не действуют, поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равномерного движения.

Решение.

Пусть $v_п$ и $v_с$ соответственно начальные скорости пушки и снаряда, $m_п$, $m_с$ массы пушки и снаряда. Энергия сжатой пружины равна $$\frac{kx^2}{2},$$ где $x$ — сжатие пружины, $k$ — жёсткость пружины. А кинетическая энергия тела находится по формуле: $$E_k=\frac{mv^2}{2},$$ где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость Энергия отдачи пушки равна $$\frac{m_{п} v_{п}^2}{2}=\frac{kx^2}{2\eta},$$

Откуда: $$m_{п}=\frac{kx^2}{v_{п}^2\eta}.$$

Найдём начальную скорость пушки. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса: $$m_nv_п=m_cv_с,$$ , следовательно: $$v_п=\frac{m_cv_с}{m_п}$$

Значит, $$m_п=\frac{kx^2 m_п^2}{v_c^2m_c^2\eta},$$

Откуда $$m_п=\frac{v_c^2m_c^2\eta}{kx^2}.$$

На снаряд действует только сила тяжести, поэтому время падения $t$ и высота $h$, с которой он падает связаны формулой: $$h(t)=v_0t+\frac{at^2}{2} \Rightarrow h=\frac{gt^2}{2},$$ откуда $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.$$

Где $v_0$ — начальная скорость тела, $t$ — время, $a$ — проекция ускорения. После выстрела на снаряд вдоль горизонтальной оси не действуют никакие силы, поэтому дальность полёта снаряда $L$ связана с горизонтальной составляющей скоростью $$v_c=\frac{L}{t}=\sqrt{\frac{g}{2h}}L.$$

Подставим выражение для скорости снаряда в выражение для массы пушки: $$m_п=\frac{gL^2 m_c^2\eta}{2h\,kx^2}.$$

Подставив численные значения в выражение, получим $m_p=1000$ кг

Ответ: 1000.