Законы сохранения

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Размеры грузов малы по сравнению с радиусом сферы, поэтому опишем их моделью материальной точки.
3. На рисунке рассматривается момент скольжения груза m по сфере. На грузы действуют потенциальные силы тяжести $m\vec{g}$ и $M\vec{g}$, непотенциальные силы натяжения нити $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, а также непотенциальная сила реакции опоры $\vec{N}$
4. Нить легкая, трения нет, поэтому $T_1=T_2=T$. Причем сила $T_1$ сонаправлена со скоростью $v_1$ груза m, а сила $T_2$ - противоположно скорости $v_2$ груза M
5. Нить нерастяжима, поэтому в один и тот же момент времени модули скоростей грузов равны. Суммарная работа сил натяжения нити при переходе из одного состояния в другое равна нулю, сила реакции опоры в каждой точке траектории перпендикулярна скорости $v_1$ груза m, поэтому ее работа равна нулю. Таким образом, работа всех непотенциальных сил равна нулю, поэтому выполняется закон сохранения энергии для системы грузов.
6. Грузы описываются моделью материальной точки, условие отрыва тела m от поверхности сферы формируется из 2 закона Ньютона. Сила реакции опоры становится равной нулю в момент отрыва.

Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения энергии для системы грузов $$E_{\text{п1}}+E_{\text{п2}}=E_{\text{к}}+E_{\text{п3}}+E_{\text{п4}}$$ За нулевой уровень энергии принят центр сферы. Распишем все энергии $$E_{\text{п1}} = mgR$$ $$E_{\text{п2}} = Mg(-h_0)$$ $$E_{\text{п3}} = mgh_1 = mgRcos(\alpha)$$ $$E_{\text{п4}} = Mg(-h)$$ $$E_{\text{к}} = \frac{(m+M)v^2}{2}$$ Тогда $$mgR+Mg(-h_0)=mgRcos(\alpha) +Mg(-h)+\frac{(m+M)v^2}{2}$$ Путь, который прошел 2 груз равен пути, который прошел первый груз. Первый груз прошел путь по дуге окружности равный $h-h_0=\frac{\pi}{6}R$
Тогда $$v^2 = \frac{2gR\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)}{m + M}.$$ Запишем 2 закон Ньютона в момент отрыва груза m от поверхности $$\vec{T_1}+m\vec{g}=m\vec{a}$$ $$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$$ Спроецируем на ось, сонаправленную с центростремительным ускорением $$m\frac{v^2}{R}=mgcos(\alpha)$$ Подставим сюда выражение вместо $v^2$ $$\frac{2g\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)}{m + M}=gcos(\alpha)$$ $$2\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)=(M+m)cos(\alpha)$$ $$2m-3mcos(\alpha)+M\frac{\pi}{3}=Mcos(\alpha)$$ $$m = \frac{Mcos(\alpha)-M\frac{\pi}{3}}{2-3cos(\alpha)}=\frac{0.1\cdot cos(30^\circ)-0.1\cdot\frac{\pi}{3}}{2-3cos(30^\circ)}=30 \text{г}$$ Ответ: 30г

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Размеры шариков малы по сравнению с длиной нити, поэтому можем применить модель материальной точки.
3. При пережигании нити пружина толкает шарики, действуя на них силой упругости. Все внешние силы, действующие на шарики направлены вдоль вертикальной оси, импульсом пружины можем пренебречь из-за ее малой массы, поэтому применим закон сохранения импульса вдоль горизонтальной оси.
4. Сила натяжения нити перпендикулярна вектору скорости в каждой точки траектории шарика, поэтому ее работа равна нулю. Других непотенциальных сил действующих на шарики нет, поэтому применим закон сохранения энергии.
   Перейдем к решению задачи. Запишем проекцию закона сохранения импульса на горизонтальную ось $$0=-M_1v_1+M_2v_2$$ $$M_1v_1=M_2v_2$$ $$v_1 = \frac{M_2v_2}{M_1}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии $$\frac{M_1v_1^2}{2}=M_1gh_1 \text{, где } h_1 = L_1(1-cos(\alpha))$$ $$\frac{M_2v_2^2}{2}=M_2gh_2 \text{, где } h_2=L_2$$ Разделим уравнения друг на друга $$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{L_1(1-cos(\alpha))}{L_2}$$ $$\frac{\frac{M_2^2v_2^2}{M_1^2}}{v_2^2}=\frac{L_1(1-cos(\alpha))}{L_2}$$ $$\frac{M_2^2}{M_1^2}=\frac{L_1(1-cos(\alpha))}{L_2}$$ $$(1-cos(\alpha)) = \frac{M_2^2L_2}{M_1^2L_1}$$ Тогда выразим искомый угол $$\alpha = \arccos \left( 1 - \frac{L_2}{2.25L_1}\right) = \arccos \left( 1 - \frac{0.2}{2.25 \cdot 0.9}\right) = 26^\circ$$ Ответ: $26^\circ$

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Размеры шариков малы по сравнению с длиной нити, поэтому можем применить модель материальной точки.
3. При пережигании нити пружина толкает шарики, действуя на них силой упругости. Все внешние силы, действующие на шарики направлены вдоль вертикальной оси, импульсом пружины можем пренебречь из-за ее малой массы, поэтому применим закон сохранения импульса вдоль горизонтальной оси.
4. Сила натяжения нити перпендикулярна вектору скорости в каждой точки траектории шарика, поэтому ее работа равна нулю. Других непотенциальных сил действующих на шарики нет, поэтому применим закон сохранения энергии.
   Перейдем к решению задачи. Запишем проекцию закона сохранения импульса на горизонтальную ось $$0=-m_1v_1+m_2v_2$$ $$m_1v_1=m_2v_2$$ $$v_1 = \frac{m_2v_2}{m_1}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии $$\frac{m_1v_1^2}{2}=m_1gh_1 \text{, где } h_1 = L_1(1-cos(\alpha))$$ $$\frac{m_2v_2^2}{2}=m_2gh_2 \text{, где } h_2=L_2(1-cos(\alpha))$$ Поделим формулы друг на друга, тогда получим $$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{L_1}{L_2}$$ $$\frac{L_1}{L_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\frac{m_2^2v_2^2}{m_1^2}}{v_2^2} = \frac{m_2^2}{m_1^2}$$ Ответ: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2}$

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. На пулю внутри дула пистолета действуют сила тяжести и сила упругости. Силой трения можно пренебречь (так как дуло можно считать гладким). Силой сопротивления воздуха также можно пренебречь. Значит на пулю не действуют непотенциальные силы и применим закон сохранения энергии.
3. После вылета пули из дула на пулю действует только сила тяжести Земли, что также позволяет применить закон сохранения энергии. За нулевой уровень примем высоту расположения мишени
   Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения энергии при вылете пули из дула пистолета $$E_{\text{пот}} = E_{\text{к0}}$$ где $E_{\text{пот}}$ - потенциальная энергия пружины, а $E_{\text{к0}}$ - кинетическая энергия пули сразу после вылета из дула пистолета $$\frac{kx^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}$$ Теперь рассмотрим дальнейшее движение пули $$E_{\text{п}}+E_{\text{к0}}=E_{\text{к1}}$$ где $E_{\text{п}}=mgh$ - потенциальная энергия пули, а $E_{\text{к1}}$ - кинетическая энергия пули перед столкновением с мишенью $$mgh+\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}$$ По условию пуля застряла в мишени совершив работу A=0,12 Дж $$\frac{mv_1^2}{2} = A$$ Объединяя все уравнения, получим $$\frac{kx^2}{2}+mgh=A$$ Откуда $$m = \frac{2A-kx^2}{2gh}=\frac{2\cdot 0.12-100\cdot0.02^2}{2\cdot 10 \cdot2} = 5\text{г}$$ Ответ: 5г

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Все тела считаем материальными точками.
3. Сопротивлением воздуха можем пренебречь
4. Считаем время разрыва снаряда малым, его импульс изменяется из-за действия больших сил, разрывающих снаряд, по сравнению с которыми сила тяжести мала и мы можем ей пренебречь. Тогда выполняется закон сохранения импульса системы тел.
5. Считаем время разрыва снаряда малым, поэтому пренебречь изменением потенциальной энергии снаряда и его осколков в поле тяжести.
6. В ИСО можем применить закон сохранения энергии с учетом энергии разрыва.
   Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения импульса $$2m\vec{v} = m\vec{v_1}+m\vec{v_2}$$ $$2mv_0 = mv_1-mv_2$$ $$v_2 = v_1-2v_0$$ где m - масса одного осколка.
   Запишем закон сохранения энергии для системы тел $$E_{\text{к0}}+\Delta E = E_{\text{к1}}+E_{\text{к1}}$$ где $E_{\text{к0}}$ - кинетическая энергия снаряда до взрыва, $E_{\text{к1}}$ и $E_{\text{к1}}$ - кинетические энергии осколков $$\frac{2mv_0^2}{2} + \Delta E = \frac{mv_1^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2}$$ $$v_0^2 + \frac{\Delta E }{m}= \frac{v_1^2}{2}+\frac{v_1^2-4v_1v_0+4v_0^2}{2}$$ $$\frac{\Delta E }{m} = v_1^2-2v_1v_0+v_0^2$$ $$\frac{\Delta E }{m} = (v_1-v_0)^2$$ $$v_1 = v_0+\sqrt{\frac{\Delta E}{m}} = 400+\sqrt{\frac{5\cdot 10^5}{2}}=900 \text{м/c}$$ Ответ: 900 м/с