Доказательства

1. Шаг 1. Построим прямую $TU$, это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка $V$ принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.
2. Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую $AB$ и найдем точку ее пересечения с прямой $TU$ — $W$.

1. Шаг 3. Проводим прямую $WV$ и находим точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ — точка $X$.
2. Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка — точка $T$. Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую $AD$ и найдем пересечение этой прямой с прямой $WV$ — точка $Y$.

1. Шаг 5. Проводим прямую $TY$, отыскиваем точки пересечения ею ребер $DD_1$ — точку $Z$, и ребра $A_1D_1$ — точку $K$.
2. Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

1. Шаг 1. Построим прямую $TU$, это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка $V$ принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.
2. Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую $AB$ и найдем точку ее пересечения с прямой $TU$ — $W$.

1. Шаг 3. Проводим прямую $WV$ и находим точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ — точка $X$.
2. Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка — точка $T$. Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую $AD$ и найдем пересечение этой прямой с прямой $WV$ — точка $Y$.

1. Шаг 5. Проводим прямую $TY$, отыскиваем точки пересечения ею ребер $DD_1$ — точку $Z$, и ребра $A_1D_1$ — точку $K$.
2. Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

1. Шаг 1. Проводим прямую через две точки одной плоскости — $U$ и $T$. Определяем точку пересечения данной прямой ребра $BC$ — $W$.
2. Шаг 2. Продолжение прямой $TU$ пересечется с продолжением прямой $CC_1$ — так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка $X$ также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка $V$, и тогда можно провести прямую $XV$.

1. Шаг 3. Точка $Y$ — точка пересечения прямой $XV$ ребра $D_1C_1$. Продлим также ребро $CD$ и найдем пересечение прямой $CD$ и прямой $XV$ — точку $Z$, которая принадлежит плоскости основания.

1. Шаг 4. Соединяем точки $W$ и $Z$ плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром $AD$ — точку $K$. Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

1. Шаг 1. Проводим $MK$, так как обе точки находятся в одной плоскости;
2. Шаг 2.$MK \cap CC_1 = X$ — непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;
3. Шаг 3. Проводим $XN$, так как обе точки находятся в одной плоскости;
4. Шаг 4. $XN \cap D_1C_1 = P$;

1. Шаг 5. Проводим $MP$, так как обе точки находятся в одной плоскости;
2. Шаг 6. Через точку $N$ в плоскости основания проводим $NL \parallel MP$, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны;
3. Шаг 7. Соединяем $N$ и $L$ и получаем сечение $MPNLK$.

Т.к. AK - перпендикуляр к плоскости $\pi$, а $a$ - прямая в плоскости $\pi$, а AO - наклонная, перпендикулярная к прямой $a$, то согласно теореме о трех перпендикулярах $KO \perp a \Rightarrow \triangle OKL$ - равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle KOL \Rightarrow$ по теореме Пифагора $KL^2 = OK^2 + OL^2 = 2\cdot OK^2 \Rightarrow OK = 2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AKO$: $AO = OK : \cos 60^\circ = 2 : \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: $4$