Движение по воде

Пусть $x$ — скорость яхты в неподвижной воде. Составим таблицу:

Общее время яхты в пути: $$\frac{120}{x + 2} + \frac{120}{x - 2} + 1= 12 \text{ ч}$$

Решаем уравнение: $$\frac{120(x - 2) + 120(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 11 \Rightarrow \frac{240x}{x^2 - 4} = 11$$ $$11x^2 - 240x - 44 = 0$$ $$x = \frac{240 \pm \sqrt{240^2 + 4 \cdot 11 \cdot 44}}{22} = \frac{240 \pm 244}{22}$$ $$x = 22 \text{ км/ч} \quad (\text{т.к. скорость положительна})$$

Пусть $x$ — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x + 2$, а против течения — $x - 2$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $16 - 10 - 1\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$ часа. Составим уравнение: $$\frac{15}{x - 2} + \frac{15}{x + 2} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{15(x + 2) + 15(x - 2)}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{30x}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$ $$90x= 14(x^2 - 4) \Leftrightarrow 14x^2 - 56 = 90x \Leftrightarrow 7x^2 - 45x - 28= 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x - 7)(7x + 4) = 0$$

Нам подходит значение $x = 7$

Пусть $u$ км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна $20+u$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $20-u$ км/ч. На весь путь теплоход затратил $42-2=40$ часов, откуда имеем:

$$\frac{399}{20-u}+\frac{399}{20+u}=40 \Leftrightarrow \frac{399\cdot 2\cdot 20}{20^2-u^2}=1 \Leftrightarrow \frac{399}{400-u^2}=1$$

$$\Leftrightarrow u^2=1 \Leftrightarrow \begin{cases} u=1,\\ u=-1,\\ \end{cases} \Leftrightarrow u=1.$$

Таким образом, скорость течения реки равна $1$ км/ч.