Движение по воде

Пусть $x$ — скорость первого теплохода. Тогда скорость второго теплохода равна $x + 1$. Составим таблицу:

Разница во времени отправления составляет $1$ час, но оба теплохода прибыли одновременно: $$\frac{420}{x} - \frac{420}{x + 1} = 1$$ $$420(x + 1) - 420x = x(x + 1)$$ $$420 = x^2 + x \Rightarrow x^2 + x - 420 = 0$$ $$D = 1 + 1680 = 1681$$ $$x = \frac{-1 \pm 41}{2} \Rightarrow x = 20, \quad x = -21$$

Так как скорость положительна: $x = 20$

Пусть $x$ — скорость второго теплохода. Тогда скорость первого теплохода равна $x - 1$. Составим таблицу:

Разница во времени отправления составляет $1$ час, но оба теплохода прибыли одновременно: $$\frac{110}{x - 1} - \frac{110}{x} = 1$$ $$110x - 110(x - 1) = x(x - 1)$$ $$110 = x^2 - x \Rightarrow x^2 - x - 110 = 0$$ $$D = 1 + 440 = 441$$ $$x = \frac{1 \pm 21}{2} \Rightarrow x = 11, \quad x = -10$$

Так как скорость положительна: $x = 11$

Пусть $x$ — скорость течения реки. Тогда скорость баржи по течению равна $7 + x$, а против течения — $7 - x$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $16 - 10 - 1\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$ часа. Составим уравнение: $$\frac{15}{7 + x} + \frac{15}{7 - x} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{15(7 - x) + 15(7 + x)}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{210}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$ $$630 = 14(49 - x^2) \Leftrightarrow 630 = 686 - 14x^2$$ $$14x^2 = 56 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$$

Так как скорость течения положительна: $x = 2$.

Пусть $x$ — скорость баржи на пути из A в B. Тогда скорость на обратном пути равна $x + 3$. Составим таблицу:

Составим уравнение относительно времени: $$\frac{390}{x} = \frac{390}{x + 3} + 9$$ $$390(x + 3) = 390x + 9x(x + 3)$$ $$390x + 1170 = 390x + 9x^2 + 27x$$ $$9x^2 + 27x - 1170 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 3x - 130 = 0$$ $$D = 9 + 520 = 529$$ $$x = \frac{-3 \pm 23}{2} \Rightarrow x = 10, \quad x = -13$$

Так как скорость положительна: $x = 10$.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами в км. Составим таблицу:

Общее время движения (без стоянки): $$\frac{S}{28} + \frac{S}{22} = 30 - 5 = 25 \text{ ч}$$

Решаем уравнение: $$\frac{22S + 28S}{616} = 25 \Rightarrow \frac{50S}{616} = 25 \Rightarrow S = 308 \text{ км}$$

Общий путь: $$2S = 616 \text{ км}$$