Касательная к графику

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. По условию прямая $y = 7x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 8$. Значит, их угловые коэффициенты равны между собой:

$$7 = (x^2 + 6x - 8)' = 2x + 6$$ $$2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5$$

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -4 = 3x^2 + 14x + 7\\ -4x - 11 = x^3 + 7x^2 + 7x - 6\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &x = -1\\ & x = -\tfrac{11}{3} \end{aligned}\right. \\ -4x - 11 = x^3 + 7x^2 + 7x - 6\\ \end{cases}$$

Данной системе удовлетворяет только значение $x = -1$.

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. Касательная к графику функции $y = f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = 8 - 5x$, значит её угловой коэффициент должен быть равен $-5$ или $y = f'(x) = -5$. Производная равна $-5$ в точке $x = 2$.

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. Касательная к графику функции $y = f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = 0 \quad$(т.е оси $X$), значит её угловой коэффициент должен быть равен $0$ или $y = f'(x) = 0$. Производная равна $0$ в точке $x = -3$.

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = 2\cdot ax + 2 \\ 3x + 1 = ax^2 + 2x + 3\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ ax^2 - x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ \frac{x}{2} - x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2x} \\ \\ x = 4 \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = \frac{1}{2\cdot4}= \frac{1}{8} = 0,125$$