Касательная к графику

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 = 56x + b \\ -5x + 8 = 28x^2 + bx + 15\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + x(b + 5) + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + x(-5 - 56x + 5) + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 28x^2 + -56x^2 + 7 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ 1 - 4x^2 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5 - 56x = b \\ (1 - 2x)(1 + 2x) = 0\\ \end{cases}$$

С учётом того, что абсцисса точки касания должна быть положительна:

$$\begin{cases} -5 - 56x = b \\ x = \frac{1}{2}\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -33 \\ x = \frac{1}{2}\\ \end{cases}$$

Запишем условия касания графиков: $$\begin{cases} -3x - 5 = x^2 + 7x + c\\ (-3x - 5)' = (x^2 + 7x + c)' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 10x + 5 + c = 0 \\ 2x + 7 = -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 10x + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (-5)^2 + 10\cdot(-5) + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 25 -50 + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 20 \\ x = -5 \end{cases}$$

Запишем условия касания графиков: $$\begin{cases} 9x + 6 = ax^2 - 19x + 13\\ (9x + 6)' = (ax^2 - 19x + 13)' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ax^2 -28x + 7 = 0 \\ 9 = 2ax - 19 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} ax^2 -28x + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(\tfrac{14}{a})^2 - 28\cdot(\tfrac{14}{a}) + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{196}{a} - \tfrac{392}{a} + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 28 \\ x = 0,5 \end{cases}$$

Так как касательная параллельна прямой $y = 3x$, то их угловые коэффициенты равны между собой. Значение производной функции $y = f(x)$ в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угловой коэффициент $k$).

Значит, нам нужно найти в какой точке производная $y = f'(x)$ равна 3.

Из графика видно, что $f'(x) = 3$ при $x = 5$.

Так как касательная параллельна прямой $y = -2x - 11$, то их угловые коэффициенты равны между собой. Значение производной функции $y = f(x)$ в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угловой коэффициент $k$).

Значит, нам нужно найти количество точек, в которых производная $f'(x)$ равна $-2$ (-2 – угловой коэффициент прямой $y = -2x - 11$).

Из графика видно, что $f'(x) = -2$ в пяти точках.