Линейные функции

Дана линейная функция вида $f(x) = kx + b$. Чтобы найти $f(-5)$, выполним следующие шаги:

1. Найдём угловой коэффициент $k$:

   Из графика видно, что прямая проходит через точки $(-1, -3)$ и $(3, 4)$. Вычислим коэффициент $k$: $$k = \frac{4 - (-3)}{3 - (-1)} = \frac{7}{4}$$

2. Найдём свободный член $b$:

   Подставим известную точку $(-1, -3)$ в уравнение: $$-3 = \frac{7}{4} \cdot (-1) + b \implies b = -3 + \frac{7}{4} = -\frac{5}{4}$$

   Таким образом, уравнение функции: $$f(x) = \frac{7}{4}x - \frac{5}{4}$$

3. Вычислим $f(-5)$:

   Подставим $x = -5$ в уравнение: $$f(-5) = \frac{7}{4} \cdot (-5) - \frac{5}{4} = -\frac{35}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{40}{4} = -10$$

Ответ -10

По рисунку определяем значения функции в двух точках: $$f(-1) = -3, \quad f(3) = 4$$

1. Найдём коэффициенты $k$ и $b$: $$\begin{cases} -3 = k \cdot (-1) + b, \\ 4 = k \cdot 3 + b \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго: 4 - (-3) = 3k - (-k) \Rightarrow 7 = 4k \Rightarrow \textb{\( k = \frac{7}{4} \)}

Подставляем $k$ в первое уравнение: -3 = -\frac{7}{4} + b \Rightarrow \textb{\( b = -\frac{5}{4} \)}

2. Запишем уравнение функции: $$f(x) = \frac{7}{4}x - \frac{5}{4}$$

3. Решим уравнение $f(x) = -13,\!5$: $$\frac{7}{4}x - \frac{5}{4} = -\frac{27}{2}$$ Умножаем обе части на 4: $$7x - 5 = -54$$ 7x = -49 \Rightarrow \textb{\( x = -7 \)}

Ответ -7

1. Найдём уравнение первой функции (красная прямая): $$k = \frac{4}{1} = 4$$ Используя точку $(-2, 1)$ на графике: $$1 = 4 \cdot (-2) + b \Rightarrow b = 9$$ Получаем уравнение: $$y = 4x + 9$$

2. Найдём уравнение второй функции (синяя прямая): $$k = \frac{3}{2} = 1,\!5$$ Используя точку $(3, 1)$ на графике: $$1 = 1,\!5 \cdot 3 + b \Rightarrow b = -3,\!5$$ Получаем уравнение: $$y = 1,\!5x - 3,\!5$$

3. Найдём точку пересечения: Решим систему уравнений: $$\begin{cases} y = 4x + 9 \\ y = 1,\!5x - 3,\!5 \end{cases}$$ Приравняем правые части: $$4x + 9 = 1,\!5x - 3,\!5$$ $$2,\!5x = -12,\!5 \Rightarrow x = -5$$ Подставим $x = -5$ в первое уравнение: $$y = 4 \cdot (-5) + 9 = -20 + 9 = -11$$

Ответ -11

Найдём коэффициент $k_1$ для прямой, проходящей через начало координат: $$f(1) = 2 = 1\cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 2$$

Найдём коэффициент $b_2$ для прямой проходящей через точку $(0; 4)$: $$b _2 = 4$$ Для этой же прямой найдём коэффициент $k_2$, подставив известные нам значения: $$f(-1) = k_2\cdot(-1) + 4 = 3 \Leftrightarrow k_2 = 1$$

Приравняем функции чтобы найти абсциссу их точки пересечения: $$k_1\cdot x + b_1 = k_2\cdot x + b_2 \Leftrightarrow x + 4 = 2x \Leftrightarrow x = 4$$

Найдём коэффициент $k_1$ для прямой, проходящей через начало координат: $$f(1) = 2 = 1\cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 2$$

Найдём коэффициент $b_2$ для прямой проходящей через точку $(0; 3)$: $$b _2 = 3$$ Для этой же прямой найдём коэффициент $k_2$, подставив известные нам значения: $$f(-1) = k_2\cdot(-1) + 3 = 2 \Leftrightarrow k_2 = 1$$

Приравняем функции чтобы найти абсциссу их точки пересечения: $$k_1\cdot x + b_1 = k_2\cdot x + b_2 \Leftrightarrow x + 3 = 2x \Leftrightarrow x =3$$