Логарифмические неравенства заменой

$$(*) x > 0$$ Сделаем замену $t = \log_4x$ $$\frac{(t + 2)^2}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 3\\ & t < -3\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ & \log_4x < -3\\ &\log_4x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $4 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 64\\ & x < \tfrac{1}{64}\\ &x = \tfrac{1}{16} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; + \infty)$

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\frac{\log_8x}{\log_8x - \log_864} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8^2x - 2\log_8x}$$ $$\frac{\log_8x}{\log_8x - 2} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8x (\log_8x - 2)}$$

Введем замену $t = \log_8x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t(t - 2)}$$ $$\frac{t^2}{t(t - 2)} - \frac{2(t - 2)}{t(t - 2)} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t = 1\\ &t > 2\\ &t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_8x = 1\\ &\log_8x > 2\\ &\log_8x < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right.$$ С учётом $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $$x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$ Преобразуем исходное неравенство: $$\log_2x + \frac{2}{\log_2x} \geq \frac{3}{(\log_2x)^3}$$

Сделаем замену переменной: $$t = \log_2x$$ Тогда неравенство примет вид: $$t + \frac{2}{t} \geq \frac{3}{t^3}$$

Перенесём все слагаемые в одну часть: $$t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{t^4 + 2t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^4 +t^2+ 2t^2 - t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2(t^2 + 3) - (t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t^2 - 1)(t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$

Так как $t^2 + 3 > 0$ для всех $t$, неравенство упрощается до: $$\frac{t^2 - 1}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)(t + 1)}{t^3} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in [-1; 0) \cup [1; +\infty)$$

Вернёмся к переменной $x$: $$\left[\begin{aligned} &t \geq 1\\ &\begin{cases} t \geq -1\\ t < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x \geq 1\\ &\begin{cases} \log_2x \geq -1\\ \log_2x < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \geq 2\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{1}{2}\\ x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3(81x) = \log_381 + \log_3x = 4 + \log_3x$$ $$\log_3x^8 = 8\log_3x$$ $$\log_3^2x - 16 = (\log_3x - 4)(\log_3x + 4)$$

Обозначим $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{2t^2 + 32}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)} \Leftrightarrow \frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 4\\ &t < -4\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > 4\\ &\log_3x < -4\\ &\log_3x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > \log_381\\ &\log_3x < \log_3\tfrac{1}{81}\\ &\log_3x = \log_3\tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем систему:

$$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$

Ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$

Решение. Запишем ОДЗ: $$4+x^2>0 \Leftrightarrow x\in\mathbb R$$

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $a^{\log_a b}=b$: $$4+x^2+x^4-10\ge 0$$ $$x^4+x^2-6\ge 0$$

Сделаем замену $x^2=t,\ t\ge 0$: $$t^2+t-6\ge 0$$ $$(t+3)(t-2)\ge 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов с учетом того, что $t\ge 0$:

$$t\in[2;+\infty)$$ Сделаем обратную замену: $$x^2\ge 2$$ $$x\in(-\infty;-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2};+\infty)$$ Ответ: $$(-\infty;-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2};+\infty).$$