Логарифмические уравнения

а) (*): $x \neq 0$.

Преобразуем логарифмы: $$\log_{0.5}^2 (x^2) = \left(\log_{1/2} x^2\right)^2 = \left(-2\log_2 |x|\right)^2 = 4(\log_2 |x|)^2.$$ $$4\log_8 (x^4) = 4 \cdot 4\log_8 |x| = 16\log_8 |x| = 16 \cdot \frac{\log_2 |x|}{3} = \frac{16}{3}\log_2 |x|.$$

Подставляем в уравнение: $$4(\log_2 |x|)^2 - \frac{16}{3}\log_2 |x| = 1.$$ $$12(\log_2 |x|)^2 - 16\log_2 |x| - 3 = 0.$$

Замена $t = \log_2 |x|$: $$12t^2 - 16t - 3 = 0.$$ $$D = 256 + 144 = 400, \quad \sqrt{D} = 20.$$ $$t = \frac{16 \pm 20}{24}.$$ $$t_1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}.$$

Возвращаемся к $|x|$: $$\log_2 |x| = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.$$ $$\log_2 |x| = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{-1/6} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{0,5}.$$

Таким образом: $$x = \pm 2\sqrt{2}, \quad x = \pm \sqrt[6]{0,5}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-0,9; 2,9]$ с помощью неравенств:

1. Для $x = -2\sqrt{2} \approx -2,83$: $$-0,9 \leq -2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -2,83 \leq 2,9 \quad \text{— неверно}.$$

2. Для $x = -\sqrt[6]{0,5} \approx -0,89$: $$-0,9 \leq -\sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

3. Для $x = \sqrt[6]{0,5} \approx 0,89$: $$-0,9 \leq \sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

4. Для $x = 2\sqrt{2} \approx 2,83$: $$-0,9 \leq 2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 2,83 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$$

Ответ: а) $-2\sqrt{2},\; -\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$

{б)} $-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}$.

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

$$x^2-2x=3^1$$

$$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x+1=4$$

$$(x-1)^2=2^2$$

$$(x-1)^2-2^2=0$$

$$(x-3)(x+1)=0$$

$$x_1=-1;\quad x_2=3$$

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $3>0$, то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Заметим, что

$$3=\log_2 2^3=\log_2 8>\log_2 5.$$

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x=3$ не попадает в отрезок $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

При этом для $x=-1$ имеем:

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 \frac{5}{10}>\log_2 \frac{4}{10}=\log_2 0,4,$$

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}<\log_2 5.$$

Поэтому получаем, что корень $x=-1$ принадлежит отрезку $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

Ответ:

а) $-1;\ 3$

б) $-1$

\textbf{Решение:}

а) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_9(3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2) = \log_9 9^x,$$ $$3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x.$$

Так как $3^{2x} = 9^x$, получаем: $$9^x + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x,$$ $$5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 0.$$

Выразим $\cos^2 x$ через $\sin x$: $$5\sqrt{2}\sin x - 6(1 - \sin^2 x) - 2 = 0,$$ $$6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0.$$

Сделаем замену $t = \sin x$: $$6t^2 + 5\sqrt{2}t - 8 = 0.$$

Найдём дискриминант: $$D = (5\sqrt{2})^2 - 4\cdot 6 \cdot (-8) = 50 + 192 = 242 = (11\sqrt{2})^2.$$

Тогда $$t = \frac{-5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12}.$$

Получаем: $$t_1 = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad t_2 = \frac{-16\sqrt{2}}{12} = -\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

Так как $\sin x \in [-1; 1]$, то $t_2 = -\frac{4\sqrt{2}}{3} < -1$ не подходит. Остаётся $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le \frac{1}{4} + 2k \le -\frac{1}{2}.$$ Вычтем $\frac{1}{4}$: $$-\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4}.$$ Разделим на 2: $$-\frac{9}{8} \le k \le -\frac{3}{8}.$$ Целое $k$: $k = -1$. Тогда $$x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}.$$

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le \frac{3}{4} + 2k \le -\frac{1}{2}.$$ Вычтем $\frac{3}{4}$: $$-\frac{11}{4} \le 2k \le -\frac{5}{4}.$$ Разделим на 2: $$-\frac{11}{8} \le k \le -\frac{5}{8}.$$ Целое $k$: $k = -1$. Тогда $$x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}.$$

Отметим корни на тригонометрической окружности.

Следовательно, корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{4}, \quad -\frac{5\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\; x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{7\pi}{4};\, -\frac{5\pi}{4}$.