Логарифмические уравнения

а)

$$\left(*\right) \begin{cases} x^2 - 5 > 0\\ 7 - x > 0 \end{cases}$$

Сделаем замену: $$a = \log_2(x^2 - 5), \quad b = \log_3(7 - x)$$ Уравнение примет вид: $$a b^2 + 3a - 2b^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow (a - 2)(b^2 + 3) = 0$$ Так как $b^2 + 3 > 0$, то: $$a = 2 \Rightarrow \log_2(x^2 - 5) = 2 \Rightarrow x^2 - 5 = 4 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

б) Проверим принадлежность корней отрезку: $$\log_2\frac{1}{7} \leq 3 \leq \log_29 \Leftrightarrow -\log_27 \leq \log_28 \leq \log_29 \quad \text{верно}$$ $$\log_2\frac{1}{7} \leq -3 \leq \log_29 \Leftrightarrow -\log_27 \leq -\log_28 \leq \log_29 \quad \text{ неверно}$$

Ответ: а) $\pm3$; б) $3$

$$\left(*\right) x > 0$$

а) Сделаем замену $t = \log_9 x$: $$2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = 1\\ &t = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \log_9 x = 1\\ & \log_9 x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 9\\ & x = 3 \end{aligned} \right.$$ $$\log_9 x = 1 \Rightarrow x = 9$$ $$\log_9 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = 3$$

б) Проверим принадлежность корней отрезку: $$\sqrt{10} \leq 3 \leq \sqrt{99} \Leftrightarrow \sqrt{10} \leq \sqrt9 \leq \sqrt{99} \quad \text{ неверно}$$ $$\sqrt{10} \leq 9\leq \sqrt{99} \Leftrightarrow \sqrt{10} \leq \sqrt{81}\leq \sqrt{99}\quad \text{верно}$$

Ответ: а) $3, 9$; б) $9$

а) $$\left(*\right) \begin{cases} x > 0 \\ 4x^2 - 1 > 0 \\ \frac{x(4x^2 - 1)}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > \frac{1}{4} \\ x(4x^2 - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 4x^3 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$$

Преобразуем уравнение: $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2 - 1) = \log_3x + \log_3(4x^2 - 1) - 1$$

Сделаем замену: $$a = \log_3x, \quad b = \log_3(4x^2 - 1)$$ Уравнение примет вид: $$ab = a + b - 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 0$$ Получаем два случая:

1. $a = 1 \Rightarrow \log_3x = 1 \Rightarrow x = 3$
2. $b = 1 \Rightarrow \log_3(4x^2 - 1) = 1 \Rightarrow 4x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

С учётом $\left(*\right)$ ($x > \frac{1}{2}$) остаётся только $x = 1$ и $x = 3$.

б) Проверим принадлежность корней отрезку $\left[\log_52; \log_527\right]$: $$\log_52 \leq 1 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_55 \leq \log_527 \text{ верно}$$ $$\log_52 \leq 3 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_5125 \leq \log_527 \text{ неверно}$$

Ответ: а) $1, 3$; б) $1$

$$\left(*\right) \begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x < -1$$

Преобразуем уравнение: $$\log_2(x^2 - 1) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow \log_2(-x - 1)(1 - x) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_2(-x - 1)(1 - x) - \log_2(1 - x) = 2 \Leftrightarrow \log_2(-x - 1) = 2 \Leftrightarrow -x -1 = 4 \Leftrightarrow x = -5$$

Ответ: $-5$

a) Перейдём ко всем логарифмам по основанию 4.

Заметим: $$\log_{16}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 16} = \frac{\log_4(x+2)}{2},$$ $$\log_{0{,}5}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4(x+2)}{-\frac12} = -2\log_4(x+2).$$

Сделаем замену $t = \log_4(x+2)$. Тогда: $$4t^3 + 16\cdot\left(\frac{t}{2}\right)^2 + 0{,}5\cdot(-2t) = 1,$$ $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = 0.$$

Разложим на множители: $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = (4t^2 - 1)(t + 1) = (2t-1)(2t+1)(t+1).$$

Корни: $$t_1 = -1, \quad t_2 = \frac12, \quad t_3 = -\frac12.$$

Обратная замена:

1. $t = -1$: $\log_4(x+2) = -1 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1} = \frac14 \; \Rightarrow \; x_1 = -\frac74 = -1{,}75$.
2. $t = \frac12$: $\log_4(x+2) = \frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{1/2} = 2 \; \Rightarrow \; x_2 = 0$.
3. $t = -\frac12$: $\log_4(x+2) = -\frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1/2} = \frac12 \; \Rightarrow \; x_3 = -\frac32 = -1{,}5$.

Итак, корни уравнения: $$-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0{,}4}4; \; \log_4 0{,}4]$.

Оценим границы отрезка.

$$\log_{0{,}4}4 = \log_{\frac{2}{5}}4.$$ Так как $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = 2{,}5 < 4$ и $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1{,}5} > 4$, то $$-1{,}5 < \log_{0{,}4}4 < -1.$$ $$\log_4 0{,}4 = \log_4 \frac{2}{5}.$$ Так как $4^{-1} = 0{,}25 < 0{,}4$ и $4^{-0{,}5} = 0{,}5 > 0{,}4$, то $$-1 < \log_4 0{,}4 < -0{,}5.$$

Проверим каждый корень:

$$x_1 = -1{,}75 < \log_{0{,}4}4 \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_2 = 0 > \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_2 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_3 = -1{,}5: \quad \log_{0{,}4}4 < -1{,}5 < \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_3 \in [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4].$$

Ответ: а) $-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$
б) $-1{,}5$