Текстовые задачи

За минуту Оля всыпает одну сто двенадцатую грядки, а Поля с Олей вместе — одну четырнадцатую. Поэтому за одну минуту Поля всыпахивает

$$\frac{1}{14}-\frac{1}{112}=\frac{1}{16}$$ грядки. Всю грядку она вспашет за $16$ минут.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть $2t$ ч — время всего пути, тогда средняя скорость равна:

$$\frac{67t+79t}{2t}=73\ \text{км/ч}.$$

Первый обогнал второго на 4 км за пятую часть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна $4:\frac{1}{5}=20$ км/ч. Обозначим скорость второго гонщика $x$ км/ч, тогда скорость первого $(x+20)$ км/ч. Составим и решим уравнение:

$$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+20}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{200(x+20)-200x}{x(x+20)}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x^2+20x-8000=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=-100,\\ x=80. \end{cases}$$

Таким образом, скорость второго гонщика равна $80$ км/ч.

В первый день Вася решил $a_1=8$ задач, в последний — $a_7$ задач. Всего надо решить $S_7=140$ задач. Поскольку $$S_n=\frac{a_1+ a_n}{2}\,n,$$ где $a_1=8,n=7$ имеем:

$$\frac{8+a_7}{2}\cdot 7=140 \Leftrightarrow a_7=32.$$

Следовательно, в последний день Вася решил 32 задач.

Артем внес $\frac{50000}{150000}= \frac{1}{3}$ уставного капитала. Тогда Вова внес $1-0{,}17-\frac{1}{3}-0{,}24=\frac{77}{300}$ уставного капитала. Таким образом, от прибыли 900000 рублей Вове причитается $900000\cdot\frac{77}{300}=231000$ рублей.