Текстовые задачи

Составим табличку:

Составим уравнение относительно времени: $$T_2 - T_1 = \frac{420}{x} - \frac{420}{x + 10} = 1 \Leftrightarrow 420x + 4200 - 420x = x^2 + 10x \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^2 + 10x -4200 = 0 \Leftrightarrow (x - 60)(x + 70) = 0$$

Нам подходит значение $x = 60$

Пусть $x$ — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x + 2$, а против течения — $x - 2$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $16 - 10 - 1\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$ часа. Составим уравнение: $$\frac{15}{x - 2} + \frac{15}{x + 2} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{15(x + 2) + 15(x - 2)}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{30x}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$ $$90x= 14(x^2 - 4) \Leftrightarrow 14x^2 - 56 = 90x \Leftrightarrow 7x^2 - 45x - 28= 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x - 7)(7x + 4) = 0$$

Нам подходит значение $x = 7$

Примем расстояние между городами 1. Пусть время движения велосипедиста равно x ч, тогда время движения мотоциклиста равно x − 12 ч, x > 12. К моменту встречи они находились в пути 2 часа 30 минут и в сумме преодолели всё расстояние между городами, поэтому $$\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-12}\right)\cdot \frac{150}{60}=1\Leftrightarrow 5(2x-12)=2(x^2-12x)\Leftrightarrow 2x^2-34x+60=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=15;\\ x=2. \end{cases} \Leftrightarrow x=15.$$

Таким образом, велосипедист находился в пути 15 часов.

Так как массы смешиваемых растворов равны, то концентрация получившегося нового раствора, будет средняя между концентрациями этих двух растворов: $\frac{19+17}{2} = \frac{36}{2} = 18.$

Обозначим $S$ км — расстояние от $A$ до $C$, $u$ км/ч — скорость автомобиля, $t$ — время движения мотоциклиста от $A$ до $C$. Тогда $(t+1)u=80t$ и $(2t+1)u=420$. Решим систему полученных уравнений:

$$\begin{cases} (t+1)u=80t,\\ (2t+1)u=420 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{(t+1)u}{2t+1}= \frac{80t}{420},\\ 2t+1=420 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{2t+2}{2t+1}=\frac{8t}{21},\\ (2t+1)u=420 \end{cases}$$

$$\begin{cases} t=3,\\ u=60. \end{cases}$$

Тогда $S=80t=240$ км.