Текстовые задачи

Виноград содержит 10$\%$ питательного вещества, а изюм — 95$\%$ . Поэтому 14 кг изюма содержат $14\cdot0{,}95=13{,}3$ кг питательного вещества. Таким образом, для получения 14 килограммов изюма требуется

$$\frac{13{,}3}{0{,}1}=133 \text{ кг винограда.}$$

Пусть $u$ км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна $20+u$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $20-u$ км/ч. На весь путь теплоход затратил $42-2=40$ часов, откуда имеем:

$$\frac{399}{20-u}+\frac{399}{20+u}=40 \Leftrightarrow \frac{399\cdot 2\cdot 20}{20^2-u^2}=1 \Leftrightarrow \frac{399}{400-u^2}=1$$

$$\Leftrightarrow u^2=1 \Leftrightarrow \begin{cases} u=1,\\ u=-1,\\ \end{cases} \Leftrightarrow u=1.$$

Таким образом, скорость течения реки равна $1$ км/ч.

Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$, тогда скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ — $v+6$ км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 6 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$, отсюда имеем: $$\frac{72}{v}=\frac{72}{v+6}+6$$ $$\Leftrightarrow \frac{72(v+6)-72v}{v^2+6v}=6 \Leftrightarrow v^2+6v-72=0$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} v=\frac{-3+\sqrt{3^2+72}}{2},\\[4pt] v=\frac{-3-\sqrt{3^2+72}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v=6,\\ v=-12 \end{cases} \Rightarrow v=6.$$

Решение. Пусть скорость велосипедиста на пути от города А до города В равна $x$ км/ч, тогда на пути от города В до города А она равна $x+3$ км/ч, при этом $x>0$. Составим таблицу:

На пути от В до А велосипедист сделал остановку на 2 часа, то есть время в пути от А до В на 2 часа больше времени в пути без остановок от В до А. Составим уравнение: $$\frac{72}{x}-\frac{72}{x+3}=2$$ $$\frac{72(x+3)-72x}{x(x+3)}=2$$ $$\frac{72x+72\cdot 3-72x}{x(x+3)}=2$$ $$\frac{72\cdot 3}{x(x+3)}=2$$

Так как $x>0$, можем домножить обе части уравнения на $x(x+3)$, получим: $$72\cdot 3=2x(x+3)$$ $$36\cdot 3=x(x+3)$$ $$108=x^2+3x$$ $$x^2+3x-108=0$$

Найдем дискриминант: $$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-108)=9+432=441=21^2.$$

Тогда корни квадратного уравнения равны: $$x_1=\frac{-3+21}{2\cdot 1}=9 \qquad x_2=\frac{-3-21}{2\cdot 1}<0.$$

Так как $x>0$, то скорость велосипедиста на пути из В в А равна $9+3=12$ км/ч.