Графики функций

Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{kx + a}{x + b} = \frac{kx + kb + a - kb}{x + b} = \frac{k(x + b)}{x + b} + \frac{a - kb}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

Определим коэффициенты:

• Горизонтальная асимптота $y = 1$ $\Rightarrow$ $k = 1$
• Вертикальная асимптота $x = -4$ $\Rightarrow$ $b = 4$
• Точка $(1, 2)$ принадлежит графику: $$f(1) = 1 + \frac{a - 1 \cdot 4}{1 + 4} = 2$$

Решим уравнение для $a$: $$1 + \frac{a - 4}{5} = 2$$ $$\frac{a - 4}{5} = 1$$ $$a - 4 = 5$$ $$a = 9$$

Проверка: Подставим найденные значения в исходную функцию: $$f(x) = \frac{x + 9}{x + 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$$

• При $x = 1$: $f(1) = 1 + \frac{5}{5} = 2$ - соответствует условию
• Горизонтальная асимптота $y = 1$ - соответствует
• Вертикальная асимптота $x = -4$ - соответствует

Ответ 9

Составляем систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \quad \text{(1)} \\ b + \log_a 4 = -1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Вычитаем уравнение (1) из (2): $$(b + \log_a 4) - (b + \log_a 2) = -1 - (-2)$$ $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1$$

Упрощаем логарифмическое выражение: $$\log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1$$

Находим основание $a$: $$a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$

Определяем параметр $b$ (подставляем $a = 2$ в уравнение (1)): $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

Записываем явный вид функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

Вычисляем $f(32)$: $$\log_2 32 = 5 \quad (\text{так как } 2^5 = 32)$$ $$f(32) = -3 + 5 = 2$$

Ответ 2

Из графика находим точку, где функция проходит через известные координаты. Пусть $f(2) = 4$, тогда: $$a^2 = 4$$ Решаем уравнение относительно $a$. Поскольку основание степени $a$ должно быть положительным ($a > 0$), получаем: $$a = \sqrt{4} = 2$$ Теперь, зная основание, решаем уравнение $f(x) = 32$: $$2^x = 32$$ Представляем 32 как степень двойки: $$32 = 2^5$$ Следовательно: $$2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим известную точку: $f(2) = 1$. Подставляем в уравнение функции: $$\log_a 2 = 1$$ По определению логарифма это означает: $$a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \log_2 x$. Находим $f(16)$: $$f(16) = \log_2 16$$ Представляем 16 как степень двойки: $$16 = 2^4$$ Следовательно: $$\log_2 16 = 4$$

Из графика находим известную точку: $f(-1) = 2$. Подставляем в уравнение функции: $$a^{-1} = 2$$ Перепишем уравнение: $$\frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$. Находим $f(4)$: $$f(4) = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} = 0,0625$$