Графики функций

Из графика находим две известные точки: $$f(-3) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = 4$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} 1 = a^{-3 + b}, \\ 4 = a^{1 + b} \end{cases}$$ Решаем первое уравнение: $$a^{-3 + b} = 1 \Rightarrow -3 + b = 0 \Rightarrow b = 3$$ Подставляем $b = 3$ во второе уравнение: $$4 = a^{1 + 3} \Rightarrow a^4 = 4$$ Извлекаем корень (учитывая, что $a > 0$): $$a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$ Теперь функция имеет вид: $$f(x) = (\sqrt{2})^{x + 3}$$ Находим $f(-7)$: $$f(-7) = (\sqrt{2})^{-7 + 3} = (\sqrt{2})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4} = 0,25$$

Из графика находим две известные точки: $$f(-3) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = 4$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} 1 = a^{-3 + b}, \\ 4 = a^{1 + b} \end{cases}$$ Решаем первое уравнение: $$a^{-3 + b} = 1 \Rightarrow -3 + b = 0 \Rightarrow b = 3$$ Подставляем $b = 3$ во второе уравнение: $$4 = a^{1 + 3} \Rightarrow a^4 = 4$$ Извлекаем корень (учитывая, что $a > 0$): $$a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$ Теперь функция имеет вид: $$f(x) = (\sqrt{2})^{x + 3}$$ Решаем уравнение $f(x) = 16$: $$(\sqrt{2})^{x + 3} = 16$$ Представляем 16 как степень $\sqrt{2}$: $$16 = 2^4 = (\sqrt{2})^8$$ Таким образом: $$(\sqrt{2})^{x + 3} = (\sqrt{2})^8 \Rightarrow x + 3 = 8 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = -1$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$ Вычитаем второе уравнение из первого: $$a^2 - a = 2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Так как показательная функция определена при $a > 0$, выбираем $a = 2$.

Подставляем $a = 2$ во второе уравнение системы: $$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3$$ Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Находим $f(6)$: $$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Решение 1:

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(3) = 5$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^3 + b = 5 \end{cases}$$ Вычитаем первое уравнение из второго: $$a^3 - a^2 = 4$$ Решаем уравнение: $$a^3 - a^2 - 4 = 0$$ Подбором находим корень $a = 2$. Проверяем: $$8 - 4 - 4 = 0$$ Таким образом, $a = 2$. Подставляем в первое уравнение: $$4 + b = 1 \Rightarrow b = -3$$ Функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Решаем уравнение $f(x) = 29$: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow x = 5$$

Решение 2:

Множество значений функции $f(x) = a^x + b$ - интервал $(b; +\infty)$. Из графика видно, что минимальное значение функции стремится к -3, следовательно $b = -3$.

Используя точку $f(2) = 1$: $$a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (a > 0)$$ Проверяем по второй точке: $$2^3 - 3 = 8 - 3 = 5 \quad \text{совпадает с } f(3) = 5$$ Таким образом, функция определена верно. Решаем уравнение: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow x = 5$$

Определим параметр $b$ из области определения функции. Область определения $f(x) = \log_a (x + b)$ - это интервал $(-b; +\infty)$.

Из графика видно, что функция определена при $x > -5$, следовательно: $$-b = -5 \Rightarrow b = 5$$

Найдём основание логарифма $a$, используя точку $(-1, 2)$, принадлежащую графику: $$2 = \log_a (-1 + 5) \Rightarrow 2 = \log_a 4$$ По определению логарифма: $$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (a > 0, a \neq 1)$$

Теперь функция имеет вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

Вычислим $f(11)$: $$f(11) = \log_2 (11 + 5) = \log_2 16 = 4$$