Графики функций

Используем две точки графика для составления системы уравнений: $$\begin{cases} f(-3) = 1 \\ f(-1) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_a (-3 + b) = 1 \\ \log_a (-1 + b) = 2 \end{cases}$$

Преобразуем уравнения, используя определение логарифма: $$\begin{cases} -3 + b = a \\ -1 + b = a^2 \end{cases}$$

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе: $$b = a + 3 \\ -1 + (a + 3) = a^2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Учитывая условия $a > 0$ и $a \neq 1$, выбираем $a = 2$.

Находим $b$: $$b = 2 + 3 = 5$$

Функция принимает вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

Решаем уравнение $f(x) = 4$: $$\log_2 (x + 5) = 4 \Rightarrow x + 5 = 2^4 \Rightarrow x = 16 - 5 = 11$$

Найдём коэффициент $k_1$ для прямой, проходящей через начало координат: $$f(1) = 2 = 1\cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 2$$

Найдём коэффициент $b_2$ для прямой проходящей через точку $(0; 4)$: $$b _2 = 4$$ Для этой же прямой найдём коэффициент $k_2$, подставив известные нам значения: $$f(-1) = k_2\cdot(-1) + 4 = 3 \Leftrightarrow k_2 = 1$$

Приравняем функции чтобы найти абсциссу их точки пересечения: $$k_1\cdot x + b_1 = k_2\cdot x + b_2 \Leftrightarrow x + 4 = 2x \Leftrightarrow x = 4$$

Найдём коэффициент $k_1$ для прямой, проходящей через начало координат: $$f(1) = 2 = 1\cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 2$$

Найдём коэффициент $b_2$ для прямой проходящей через точку $(0; 3)$: $$b _2 = 3$$ Для этой же прямой найдём коэффициент $k_2$, подставив известные нам значения: $$f(-1) = k_2\cdot(-1) + 3 = 2 \Leftrightarrow k_2 = 1$$

Приравняем функции чтобы найти абсциссу их точки пересечения: $$k_1\cdot x + b_1 = k_2\cdot x + b_2 \Leftrightarrow x + 3 = 2x \Leftrightarrow x =3$$

Найдём коэффициент $b$: $$f(0) = 3 = b$$

Найдём коэффициент $k$. Для этого подставим известные нам значения в функцию: $$f(1) = -1 = k\cdot1 +3 \Leftrightarrow k = -4$$

Найдём значение $f(5)$: $$f(5) = -4\cdot(5) + 3 = -17$$

Найдём коэффициент $b$: $$f(0) = -3 = b$$

Найдём коэффициент $k$. Для этого подставим известные нам значения в функцию: $$f(-2) = 1 = k\cdot(-2) -3 \Leftrightarrow k = -2$$

Найдём значение $f(3)$: $$f(3) = -2\cdot(3) -3 = -9$$