Уравнения

Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$ $$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k,n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\sin x} = -2$$ $$\frac{1 - 3\sin x + 2\sin^2 x}{\sin^2 x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k \end{cases}, k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$ $$2\sin x \cos x + \sqrt{2}\sin x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x - 1) + \sqrt2(\sin x - 1) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{\sin 2x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\frac{2\sin x \cos x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$$ $$-2\sin x = \sqrt{2}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}$

Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2\cos x + 1 - \cos^2x = 2\cos^3x$$ $$2\cos^3x + \cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$2t^3 + t^2 - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow 2t(t^2 - 1) + t^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (t - 1)(t + 1)(2t + 1) = 0$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = 1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\cos x = -1 \quad \text{или} \quad \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z} ;$ б) $-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$