Уравнения

Упростим уравнение, используя свойство нечётности синуса: $$\cos 2x - 3\sin x - 2 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$$ $$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x$: $$2t^2 + 3t + 1 = 0$$ $$D = 9 - 8 = 1$$ $$t = \frac{-3 \pm 1}{4}$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\sin x = -1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

$$\left(*\right) \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\pi k, k \in Z$$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$ Подставим в уравнение: $$4\cos^2 x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\frac{4\cos^2 x \sin x - \cos x}{\sin x} = 0$$ $$\frac{\cos x (4\cos x \sin x - 1)}{\sin x} = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos x \sin x - 1 = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x - 1 = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{12} - 5\pi = -\frac{59\pi}{12}$$ $$\frac{5\pi}{12} - 5\pi = -\frac{55\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$

Вынесем $\sin x$ за скобки: $$\sin x (4\cos^2x - 2\sqrt{3} \cdot 2\cos x + 3) = 0$$ $$\sin x (4\cos^2x - 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad (2\cos x - \sqrt{3})^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = - \frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$- \frac{13\pi}{6}, -3\pi, -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $- \frac{13\pi}{6}, -3\pi, -2\pi$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3} \frac{5\pi}{2}$

Раскроем квадрат суммы: $$\sqrt{3}\cos 2x = 3 - 3(\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x)$$ $$\sqrt{3}\cos 2x = 3 - 3(1 + \sin 2x)$$ $$\sqrt{3}\cos 2x + 3\sin 2x = 0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt3}{2}\sin 2x = 0$$ Заметим, что выражение представляет собой раскрытый синус суммы: $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$