Уравнения

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: $$2\sin^3 x + \sin x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(1 - \sin^2 x)$$ $$2\sin^3 x + 2\sqrt{2}\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x(2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } (\sqrt2\sin x + 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } \sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \pi k, k \in Z, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$$

б) Воспользуемся тригонометрической окружностью для отбора корней на промежутке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$:

Рассматриваемый промежуток: $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$

$$-\frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{9\pi}{4}$$

Корни уравнения, которые входят в промежуток $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$: $$-2\pi; -\frac{9\pi}{4}; -\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k;$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$ $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$ где $k,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{9\pi}{4};-2\pi; -\pi$

1. Преобразуем уравнение: $$4\sin^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \Leftrightarrow 4\sin^2 x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$$ $$\frac{\sin x (4\sin x \cos x - 1)}{\cos x} = 0$$

Дробь равна $0$ тогда, когда числитель равен $0$, а знаменатель не равен $0$. $$\begin{cases} \left[\begin{array}{ll} \sin x = 0 \\ 4\sin x \cos x = 1 \end{array} \right. \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{ll} \sin x = 0 \\ \sin 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{array}{ll} x = \pi k\\ 2x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\ 2x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{array} \right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases}, k \in Z \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{ll} x = \pi k\\ x = \tfrac{\pi}{12} + \pi k\\ x = \tfrac{5\pi}{12} + \pi k \end{array} \right. \\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases}, k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $[-\pi; 0]$ с помощью тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\pi; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{7\pi}{12}; 0$$

Ответ: а) $\pi k;\frac{\pi}{12} + \pi k;\frac{5\pi}{12} + \pi k; k \in \mathbb{Z}$

б) $-\pi; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{7\pi}{12}; 0.$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

1. Сделаем замену $t = \tan x$: $$t^2 + 5t + 6 = 0$$ $$t = -2 \quad \text{или} \quad t = -3$$

2. Обратная замена: $$\tan x = -2 \Rightarrow x = -\arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\tan x = -3 \Rightarrow x = -\arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$: $$-\arctan 2 - \pi; -\arctan 3 - \pi$$

Ответ: а) $-\arctan 2 + \pi k;-\arctan 3 + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $-\arctan 2 - \pi; -\arctan 3 - \pi$

Преобразуем уравнение: $$6(1 - \sin^2 x) + 5\sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ $$-6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x + 8 = 0$$ $$6\sin^2 x - 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0$$

Сделаем замену: $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$6t^2 - 5\sqrt{2}t - 8 = 0$$ $$D = 50 + 4\cdot8\cdot6 = 242$$ $$t = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{242}}{12}$$ $$t = \frac{5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12}$$ $$t = \frac{4\sqrt{2}}{3} \quad \notin [-1; 1] \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Обратная замена: $$\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k;-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$

б) $\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4};$

Преобразуем уравнение, используя формулу: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

Подставим в исходное уравнение: $$8 \cdot (4^2)^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 2 \cdot 4 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 8 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$

Сделаем замену $t = 4^{2\sin^2 x} > 0$: $$8t - \frac{8}{t} = 63 \text{ домножим на } t \neq 0$$ $$8t^2 - 63t - 8 = 0$$ $$D = 3969 + 256 = 4225$$ $$t = \frac{63 \pm 65}{16}$$ $$t = 8 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{8} < 0\quad \text{(не подходит)}$$

Обратная замена: $$4^{2\sin^2 x} = 8 \Leftrightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$$ $$4\sin^2 x = 3 \Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решения уравнения: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 5\pi = \frac{14\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$$

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$

б) $\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$