Уравнения

$\left(*\right) \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pi k, k \in Z$

Сделаем замену $t = \frac{1}{\sin x}$:

Исходное уравнение примет вид:

$$t^2 + t - 2 = 0$$

Замечание: можно решить это уравнение с помощью Дискриминанта или теоремы Виета, но также можно заметить, что сумма коэффициентов равна 0, поэтому корни будут равны: $t = 1, \quad t = \frac{c}{a}$:

$$\left[\begin{array}{ll} t = 1\\ t = -2 \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{ll} \tfrac{1}{\sin x} = 1 \\\\ \tfrac{1}{\sin x} = -2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \sin x = 1 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\\\ x = -\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\\\ x = -\tfrac{5\pi}{6} + 2 \pi k \end{array}\right., k \in Z$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z;$

Воспользуемся свойствами степеней:

$$\frac{9^x}{3} - \frac{8\cdot3^x}{3} + 5 = 0$$

Домножим на $3$ обе части уравнения:

$$9^x - 8\cdot3^x + 15 = 0 \Leftrightarrow 3^{2x} - 8\cdot3^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $3^x = t > 0$

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{cc} t = \frac{8 - 2}{2}\\ \\t = \frac{8 + 2}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} t = 3\\ t = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 3^x = 3 \\ 3^x = 3^{\log_3{5}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \log_35 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left(1; \frac{7}{3}\right)$:

$1$ не включена в промежуток. Сравним числа $\frac{7}{3}$ и $\log_35$:

$$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} > 2 = \log_39 > \log_35$$

Ответ: а) $1; \log_35;$, б) $\log_35$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^x - 8\cdot2^x + 15 = 0 \Leftrightarrow (2^x)^2 - 8\cdot2^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{8 - 2}{2} = 3\\ t = \frac{8 + 2}{2} = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^x = 3 \\ 2^x = 5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \log_23 \\ x = \log_25 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[2; \sqrt{10}]$:

Сравним числа: $$\log_23 < \log_24 = 2 < \log_25 < \log_28 = 3 < \sqrt{10}$$

Ответ: а) $\log_23; \log_25;$, б) $\log_25;$

Вынесем общий множитель:

$$4^{x^2 - 2x}(4^1 + 1) = 20 \Leftrightarrow 4^{x^2 - 2x}\cdot5 = 20$$

Сократим на 5:

$$4^{x^2 - 2x} = 4^1$$ $$x^2 - 2x = 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0$$ $$D = 4 + 4 = 8$$ $$\left[\begin{array}{l} x = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}\\ x = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[-1; 2]$:

Сравним числа: $$-1 < 1 - \sqrt2 \Leftrightarrow -2 < -\sqrt2 \text{ верно}$$ $$1 - \sqrt2 < 2 \Leftrightarrow -\sqrt2 < 1 \text{ верно}$$ $$2 < 1 + \sqrt2 \Leftrightarrow 1 < \sqrt2 \text{ верно}$$ Значит, нам подходит только $x = 1 - \sqrt2$

Ответ: а) $1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2};$, б) $1-\sqrt{2};$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^{x^2 - 1} = (2^2)^{x^2 - 1} = 2^{2(x^2 - 1)}$$ $$2^{x^2 - 3} = \frac{2^{x^2 - 1}}{4}$$

Подставим в уравнение:

$$2^{2(x^2 - 1)} - 24\cdot\frac{2^{x^2 - 1}}{4} + 8 = 0$$ $$2^{2(x^2 - 1)} - 6\cdot2^{x^2 - 1} + 8 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{x^2 - 1} > 0$:

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$ $$D = 36 - 32 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{6 - 2}{2} = 2\\ t = \frac{6 + 2}{2} = 4 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^{x^2 - 1} = 2^1 \\ 2^{x^2 - 1} = 2^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 1 \\ x^2 - 1 = 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = 2 \\ x^2 = 3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm\sqrt{2} \\ x = \pm\sqrt{3} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5}{3}; 2\right]$:

Сравним числа:

$$-\sqrt3 < -\frac{5}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt3 > 5 \Leftrightarrow 27 > 25 \text{ верно}$$ $$-\frac{5}{3} < -\sqrt2 \Leftrightarrow 5 > 3\sqrt2 \Leftrightarrow 25 > 18 \text{ верно}$$ $$-\sqrt2 < \sqrt2 < \sqrt3 < 2 \text{ верно}$$

Нам подходят корни: $-\sqrt2; \sqrt2; \sqrt3;$

Ответ: а) $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$, б) $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$