Уравнения

Перенесём всё влевую часть: $$\sin^3x + \sin^2 x\cdot\cos x - 3\cos^3x - 3\sin x\cdot \cos^2x = 0$$ Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$:

Получаем:

$$tg^3 x + \tg^2 x - 3\tg x - 3 = 0$$ $\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0$$ $$(t^3 + t^2) - (3t + 3) = 0$$ $$t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0$$ $$(t + 1)(t^2 - 3) = 0$$ $$t = -1 \text{ или } t^2 = 3$$ $$\tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\tg x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4}; \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k\in Z; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z;$ б) $\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4};\frac{10\pi}{3}$

Преобразуем исходное уравнение:

$$3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3\cos^3x - 3\sin x \cdot (-\cos x)^2 = \sin^2x\cdot\cos x - \sin^3x \Leftrightarrow$$ $$\sin^3x -\sin^2x\cdot\cos x - 3\sin x \cdot\cos^2x + 3\cos^3x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$

Получаем:

$$\tg^3 x - \tg^2 x - 3\tg x + 3 = 0$$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$$ $$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$$ $$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$$ $$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$$

$$\tg x = 1 \quad \text{или} \quad \tg x = \pm\sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k;\pm\frac{\pi}{3} + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$

а)

$$2(\cos x \cos \tfrac{\pi}{3} + \sin x \sin \tfrac{\pi}{3}) -2\cos x = 0$$ $$2(\tfrac{1}{2}\cos x + \tfrac{\sqrt3}{2}\sin x) -2\cos x = 0$$ $$\cos x + \sqrt3\sin x -2\cos x = 0$$ $$\sqrt3\sin x - \cos x = 0$$ $$\tg x = \frac{\sqrt3}{3}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z;$$

б) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z; x \in \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$

$$k = -2, x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ $$k = -1, x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$. б) $-\frac{5\pi}{6}$; $-\frac{11\pi}{6}$.

a) По формуле приведения и формуле косинуса разности: $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Получаем: $$2\left(\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$$ $$2\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$$ $$-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x=0$$ $$\sin x-\cos x=0$$

Заметим, что $\cos x\neq 0$, так как тогда $\sin x=0$. Тогда $$\tg x=1$$ $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $$\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта a).

Следовательно, на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right],$$ лежит точка $$\frac{5\pi}{4}.$$

Ответ: a) $\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$

б) $\frac{5\pi}{4}$.

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0$$

По формуле синуса суммы и по формулам приведения имеем:

$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$2\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$$

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0 \quad \mid : \sqrt{2}$$

$$\cos x-\sin x=0 \quad \mid : \cos x\ne 0$$

$$1-\tg x=0$$

$$\tg x=1$$

Таким образом,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$$ лежат точки

$$\frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$

Ответ:

$$\text{a) } x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

$$\text{б) } \frac{13\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4}.$$