Уравнения

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

$$x^2-2x=3^1$$

$$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x+1=4$$

$$(x-1)^2=2^2$$

$$(x-1)^2-2^2=0$$

$$(x-3)(x+1)=0$$

$$x_1=-1;\quad x_2=3$$

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $3>0$, то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Заметим, что

$$3=\log_2 2^3=\log_2 8>\log_2 5.$$

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x=3$ не попадает в отрезок $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

При этом для $x=-1$ имеем:

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 \frac{5}{10}>\log_2 \frac{4}{10}=\log_2 0,4,$$

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}<\log_2 5.$$

Поэтому получаем, что корень $x=-1$ принадлежит отрезку $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

Ответ:

а) $-1;\ 3$

б) $-1$

а) Сделаем замену

$$t=\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2},$$ возведём обе части в квадрат:

$$t^2=\frac{(x-2)^2}{4}-2\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{3}{x-2}+\frac{9}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)^2}{4}-3+\frac{9}{(x-2)^2};$$ тогда

$$\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{9}{(x-2)^2}=t^2+3.$$ Имеем:

$$2(t^2+3)=7t+10 \Leftrightarrow 2t^2-7t-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-\frac12,\\ t=4. \end{array} \right.$$

Вернемся к исходной переменной. Если $t=-\frac12$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=-\frac12 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=-(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-3x-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1,\\ x=4. \end{array} \right.$$

Если $t=4$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=8(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-12x+14=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=6-\sqrt{22},\\ x=6+\sqrt{22}. \end{array} \right.$$

б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-2;2]$. В силу неравенств

$$0<6-\sqrt{22}<6-4=2 \quad \text{и} \quad 6+\sqrt{22}>6+4=10>2$$ из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа $-1$ и $6-\sqrt{22}$.

Ответ: а) $\{-1;\ 4;\ 6-\sqrt{22};\ 6+\sqrt{22}\}$; б) $-1;\ 6-\sqrt{22}$.

а) Подкоренные выражения должны быть равны и неотрицательны:

$$\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x^4+2x^2 \ge 0;\\ x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2 \end{cases} \Leftrightarrow 8x^3-1=0 \Leftrightarrow x^3=\frac18 \Leftrightarrow x=\frac12.$$

б) Заметим, что

$$\frac12=\log_3 3^{\frac12}=\log_3 \sqrt{3}.$$ Неравенство $0,5\le \sqrt{3}\le 2$ является верным, следовательно, корень $x=\frac12$ принадлежит отрезку $[\log_3 0,5;\log_3 2]$.

Ответ: а) $\left\{\frac12\right\}$; б) $\left\{\frac12\right\}$.

а) Упростим уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2(1 - \cos^2x) + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ $$-2\cos^2x + \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x(-2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{23\pi}{6}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$

Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$$2\cos^3 x - 2\cos x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $2\cos x$ из первых двух слагаемых:

$$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Так как $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем:

$$-2\cos x\sin^2 x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $\sin^2 x$ за скобки:

$$\sin^2 x(-2\cos x - \sqrt3) = 0.$$

Отсюда:

$$\sin^2 x = 0 \quad \text{или} \quad -2\cos x - \sqrt3 = 0.$$

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Для $x = \pi k$: подходят $k = -3, -2$, то есть $x = -3\pi, \; -2\pi$.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{7\pi}{6}$, что не входит в отрезок; при $k = -2$ даёт $x = -\frac{19\pi}{6} < -3\pi$. Других подходящих нет.

Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{17\pi}{6}$, что лежит между $-3\pi$ и $-\frac{3\pi}{2}$; при $k = 0$ даёт $x = -\frac{5\pi}{6} > -\frac{3\pi}{2}$; при $k = -2$ даёт $x < -3\pi$.

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку:

$$-3\pi; \quad -\frac{17\pi}{6}; \quad -2\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi; \ -\frac{17\pi}{6}; \ -2\pi$.