Стереометрическая задача

a)

Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются равными правильными треугольниками. Так как $AN$ и $BN$ — медианы в равных правильных треугольниках $ADC$ и $DBC$, то $AN = BN$. Тогда $\triangle ANB$ равнобедренный, следовательно, медиана $NM$, проведенная к основанию, также является и высотой. Таким образом, $MN \perp AB$. Аналогично $\triangle DMC$ равнобедренный и $MN$ — медиана и высота этого треугольника, то есть $MN \perp CD$.

б) Если $MN \perp \alpha$, то $\alpha$ проходит через прямые, параллельные $AB$ и $CD$, то есть $AB \parallel \alpha$, $CD \parallel \alpha$. Тогда $\alpha$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $PK \parallel AB$, а плоскости $(ACD)$ и $(BCD)$ по прямым $PG$ и $KH$ соответственно, параллельным $CD$. Тогда $PKHG$ — сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$.

Далее имеем $CD \perp AN$ и $CD \perp BN$, так как $AN$ и $BN$ — медианы в равносторонних треугольниках. Тогда $CD \perp (ANB)$, следовательно, $CD \perp AB$. Значит, $PKHG$ — прямоугольник.

Треугольники $BKH$ и $BCD$ подобны, так как $KH \parallel CD$, откуда $$\frac{BK}{BC} = \frac{KH}{CD} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{6} = \frac{KH}{6} \quad\Longleftrightarrow\quad KH = 1.$$

Треугольники $CPK$ и $CAB$ подобны, так как $PK \parallel AB$, откуда $$\frac{PK}{AB} = \frac{CK}{CB} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{PK}{6} = \frac{5}{6} \quad\Longleftrightarrow\quad PK = 5.$$

Следовательно, площадь сечения $PKHG$ равна $$S_{PKHG} = KH \cdot PK = 1 \cdot 5 = 5.$$

$$\boxed{5}$$

а)

Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются равными правильными треугольниками. Так как $AN$ и $BN$ — медианы в равных правильных треугольниках $ADC$ и $DBC$, то $AN = BN$. Тогда $\triangle ANB$ равнобедренный, следовательно, медиана $NM$, проведенная к основанию, также является и высотой. Таким образом, $NM \perp AB$. Аналогично $\triangle DMC$ равнобедренный и $MN$ — медиана и высота этого треугольника, то есть $MN \perp CD$.

б) Если $MN \perp \alpha$, то $\alpha$ проходит через прямые, параллельные $AB$ и $CD$, то есть $AB \parallel \alpha$, $CD \parallel \alpha$. Тогда $\alpha$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $PK \parallel AB$, а плоскости $(ACD)$ и $(BCD)$ — по прямым $PG$ и $KH$ соответственно, параллельным $CD$. Тогда $PKHG$ — сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$.

Далее имеем $CD \perp AN$ и $CD \perp BN$, так как $AN$ и $BN$ — медианы в равносторонних треугольниках. Тогда $CD \perp (ANB)$, следовательно, $CD \perp AB$. Значит, $PKHG$ — прямоугольник.

Треугольники $BKH$ и $BCD$ подобны, так как $KH \parallel CD$. Отсюда: $$\frac{BK}{BC} = \frac{KH}{CD} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{4} = \frac{KH}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad KH = 1.$$

Треугольники $CPK$ и $CAB$ подобны, так как $PK \parallel AB$. Поэтому: $$\frac{PK}{AB} = \frac{CK}{CB} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{PK}{4} = \frac{3}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad PK = 3.$$

Следовательно, площадь сечения $PKHG$ равна $$S_{PKHG} = KH \cdot PK = 1 \cdot 3 = 3.$$

$$\boxed{3}$$

а)

Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD$. В них имеем:

$$SB^{2} = 625 = 576 + 49 = AB^{2} + SA^{2},$$

$$SD^{2} = 81 = 32 + 49 = BC^{2} + SA^{2} = AD^{2} + SA^{2}.$$

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $$SA \perp AB \quad \text{и} \quad SA \perp AD,$$ значит, $$SA \perp (ABD).$$

б) Проведём высоту $AH$ в треугольнике $SAB$.

Заметим, что $BC \perp SA$, так как $SA \perp (ABD)$, и $BC \perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $$BC \perp (SAB).$$ Значит, $BC \perp AH$. Также $AH \perp SB$ по построению. Тогда $$AH \perp (SBC).$$ Таким образом, $AH$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

В прямоугольном треугольнике $SAB$: $$AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{7 \cdot 24}{25} = 6{,}72.$$

$$\boxed{6{,}72}$$

а)

Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD$. В них имеем: $$SB^{2} = 12 = 5 + 7 = AB^{2} + SA^{2},$$ $$SD^{2} = 11 = 4 + 7 = BC^{2} + SA^{2} = AD^{2} + SA^{2}.$$

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $$SA \perp AB \quad \text{и} \quad SA \perp AD,$$ значит $$SA \perp (ABD).$$

б) Проведём высоту $AH$ в треугольнике $SAB$.

Заметим, что $BC \perp SA$, так как $SA \perp (ABD)$, и $BC \perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $$BC \perp (SAB).$$ Значит, $BC \perp AH$. Также $AH \perp SB$ по построению. Тогда $$AH \perp (SBC).$$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до плоскости $(SBC)$.

В прямоугольном треугольнике $SAB$: $$AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{105}}{6}.$$

$$\boxed{\frac{\sqrt{105}}{6}}$$

а)

Пусть точка $M$ — середина $BC$. Тогда рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. Все их стороны по условию равны $7$. Значит, они равносторонние. Тогда $AM$ и $DM$ — их медианы, которые также являются их высотами. Следовательно, $$BC \perp AM \quad \text{и} \quad BC \perp DM.$$ Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AMD)$, которая содержит прямые $AM$ и $DM$, перпендикулярные $BC$. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AMD)$, которая перпендикулярна прямой $BC$, значит, $$BC \perp AD.$$

б) Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Его сторона равна $7$, $AM$ — его медиана и высота, следовательно, $$AM = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}.$$

Аналогично в равностороннем треугольнике $DBC$ со стороной $7$ медиана $DM$: $$DM = \frac{7\sqrt{3}}{2} = AM.$$

Пусть точка $N$ — середина $AD$. Тогда рассмотрим треугольник $AMD$. В нём $AM = DM$, значит, $MN$ — его медиана и высота. Тогда $$MN \perp AD.$$

С другой стороны, $MN \perp BC$, так как $MN$ лежит в плоскости $(AMD) \perp BC$. Следовательно, $MN$ — расстояние между $AD$ и $BC$.

Так как $N$ — середина $AD$, то $AN = \frac12 AD = 2$. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AMN$: $$AN^{2} + MN^{2} = AM^{2},$$ $$MN^{2} = AM^{2} - AN^{2},$$ $$MN^{2} = \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 2^{2},$$ $$MN^{2} = \frac{49 \cdot 3}{4} - 4,$$ $$MN^{2} = \frac{147 - 16}{4},$$ $$MN^{2} = \frac{131}{4},$$ $$MN = \frac{\sqrt{131}}{2}.$$

$$\boxed{\frac{\sqrt{131}}{2}}$$