Финансовая математика

На втором поле урожайность свеклы выше, значит выгодно выращивать ее. На первом поле лучше растет картошка, но она стоит дешевле.

Пусть $x$ гектар выделено на $1$ поле для выращивания картошки, тогда для свеклы $10-x$. Тогда картошки получим $400x$, а свеклы $300(10-x)$. Выручка на первом поле составит $400x\cdot 10$ (за картофель) и $300(10-x)\cdot 11$ (за свеклу).

Составим функцию дохода: $$y=400x\cdot 10+300(10-x)\cdot 11+400\cdot 10\cdot 11\\ y=4000x+33000-3300x+44000\\ y=700x+77000$$ Линейная возрастающая функция: Необходимо наибольшее значение при наибольшем $x$. Значит, $x=10$.

Доход тогда составит: $$7000+77000=84000~тыс. руб.$$ Ответ: 84000

Необходимо, чтобы з.п. была наименьшей

Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, $24-t$ человек на второй объект. Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, з.п. $4t^2$. Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, з.п. $(24-t)^2$.

Составим функцию всей суточной з.п.: $$y=4t^2+(24-t)^2\\ y=5t^2+24^2-48х$$ Функция является параболой с ветвями вверх, но необходимо, чтобы з.п. была наименьшей. Значит, наименьшее значение будет в вершине параболы. $$t =\frac{-b}{2a}=\frac{48}{10}=4,8$$ Тогда $t=4$ или $t=5$ $$y(4)=80-192+24^2=464\\ y(5)=125-240+24^2=461$$ Значит $t=5$, то есть на $1$ объекте $5$ человек, а на $2$ объекте $24-5=19$ человек.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у. е.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов.

Тогда в первой области на добычу алюминия затратили:

$$160\cdot 5=800~чел-ч$$

Тогда алюминия смогут добыть:

$$800\cdot 0,1=80~кг$$

Пусть во второй области алюминий добывали $y$ человек, тогда никель $160-y$.

Значит, во второй области затратили на добычу алюминия $5y$ чел-ч, а никеля $5(160-y)$ чел-ч.

Так как для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда, значит, алюминий смогли добыть $\sqrt{5y}$, а никеля $\sqrt{5(160-y)}$.

Нам необходимо, чтобы добыли как можно больше металла. То есть:

$$f(y)=80+\sqrt{5у}+\sqrt{5(160-y)}\\ f(y)=80+\sqrt{5y}+\sqrt{800-5y}$$

Чтобы найти наибольшее количество, необходимо найти производную:

$$f'(y)=\frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}=0\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}=\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \sqrt{5y}=\sqrt{800-5y}\\ 5y=800-5y\\ 10y=800\\ y=80 - экстремум$$

Значит при $y=80$, добыча металла будет наибольшей.

$$f(80)=80+\sqrt{5\cdot 80}+\sqrt{800-5\cdot 80}=80+20+20=120$$

Значит наибольшую массу металлов, которую можно за сутки суммарно добыть в двух областях, это $120$ кг.

Ответ: 120 кг

Пусть $x_{i} -$ выплата, а сумма кредита увеличивается в $k = 1,2$ раза, тогда:

$$S\cdot 1,2-x_{1} =0,8S\ \rightarrow \ x_{1} =0,4S\\ 0,8S\cdot 1,2-x_{2} =0,4S\ \rightarrow \ x_{2} =0,56S\\ 0,4S\cdot 1,2-x_{3} =0\ \rightarrow \ x_{3} =0,48S$$ Заметим, что $0,56S$ наибольшая выплата $\Rightarrow$ чтобы каждая выплата была меньше $5$ млн. рублей достаточно, чтобы максимальная выплата была меньше $5$ млн. $\Rightarrow$

$$\begin{gathered} 0{,}56S < 5 \\[0.5em] S < \frac{5}{0{,}56} \\[0.5em] S < \frac{500}{56} \\[0.5em] S < \frac{125}{14} \\[0.5em] S < \frac{125}{14} \\[0.5em] S < 8\frac{13}{14} \\[0.5em] S = 8 \end{gathered}$$

Ответ: 8.

Составим математическую модель, где $x_n$ выплата за $n$ - ный месяц:

$$\begin{aligned} 1(1+\frac{r}{100})-x_1&=0{,}6\\ 0{,}6(1+\frac{r}{100})-x_2&=0{,}4\\ 0{,}4(1+\frac{r}{100})-x_3&=0{,}3\\ 0{,}3(1+\frac{r}{100})-x_4&=0{,}2\\ 0{,}2(1+\frac{r}{100})-x_5&=0{,}1\\ 0{,}1(1+\frac{r}{100})-x_6&=0 \end{aligned}$$

Пусть $(1+\frac{r}{100})=k$, выразим все неизвестные:

$$\begin{aligned} x_1&=1k-0{,}6\\ x_2&=0{,}6k-0{,}4\\ x_3&=0{,}4k-0{,}3\\ x_4&=0{,}3k-0{,}2\\ x_5&=0{,}2k-0{,}1\\ x_6&=0{,}1k \end{aligned}$$

Все выплаты составят: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=2{,}6k-1{,}6$

По условию общая сумма выплат должна быть меньше 1,2 млн рублей, тогда:

$$\begin{aligned} 2{,}6k-1{,}6&<1{,}2\\ k&<\frac{14}{13} \end{aligned}$$

Выполним обратную подстановку:

$$\begin{aligned} (1+\frac{r}{100})&<\frac{14}{13}\\ r&<\frac{100}{13} \\ r &< 7\frac{9}{13} \end{aligned}$$

Наибольшему целому значению $r$ соответствует 7.

]

Ответ: 7.