Финансовая математика

1. Нахождение $n$

К началу 2-го года сумма вложений: $$1.1 \cdot 12 + n = 13.2 + n \quad \text{млн рублей}.$$ К началу 3-го года: $$1.1(13.2 + n) + n = 14.52 + 2.1n \quad \text{млн рублей}.$$ По условию удвоения: $$14.52 + 2.1n \geq 24.$$ Решаем неравенство: $$2.1n \geq 9.48 \implies n \geq \frac{9.48}{2.1} \approx 4.514.$$ Наименьшее целое $n = 5$.

2. Нахождение $m$

При $n = 5$ к началу 3-го года: $$14.52 + 2.1 \cdot 5 = 25.02 \quad \text{млн рублей}.$$ К началу 4-го года: $$1.1 \cdot 25.02 + m = 27.522 + m \quad \text{млн рублей}.$$ К концу 4-го года: $$1.1(27.522 + m) + m = 30.2742 + 2.1m \quad \text{млн рублей}.$$ По условию утроения: $$30.2742 + 2.1m \geq 36.$$ Решаем неравенство: $$2.1m \geq 5.7258 \implies m \geq \frac{5.7258}{2.1} \approx 2.726.$$ Наименьшее целое $m = 3$.

Ответ n = 5; m = 3

Пусть $S$ тыс. руб. — начальная сумма. $r\% = 8\%$ – ставка. Коэффициент роста: $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.08$.

Динамика вклада:

1. Конец 2-го года: $$k^2S - 229 \text{ тыс. руб.}$$
2. Конец 3-го года (до снятия): $$k(k^2S - 229) \text{ тыс. руб.}$$
3. После снятия: $$k(k^2S - 229) - 350 = 190 \text{ тыс. руб.}$$

Решаем уравнение: $$1.08(1.08^2S - 229) - 350 = 190$$ $$1.08(1.1664S - 229) = 540$$ $$1.1664S - 229 = \frac{540}{1.08} = 500$$ $$1.1664S = 729$$ $$S = \frac{729}{1.1664} = 625 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ 625,000

Пусть:

• $S$ — сумма кредита
• $r$ — месячная процентная ставка (в долях единицы)
• $\frac{S}{6}$ — фиксированная часть выплаты (так как долг уменьшается равномерно)

Рассмотрим проценты, начисляемые каждый месяц:

1. 1-й месяц: $r \cdot S$
2. 2-й месяц: $r \cdot \frac{5S}{6}$
3. 3-й месяц: $r \cdot \frac{4S}{6}$
4. 4-й месяц: $r \cdot \frac{3S}{6}$
5. 5-й месяц: $r \cdot \frac{2S}{6}$
6. 6-й месяц: $r \cdot \frac{S}{6}$

Общая сумма начисленных процентов: $$rS \left(1 + \frac{5}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right) = rS \cdot \frac{21}{6} = 3.5rS$$

Общая сумма выплат: $$S (\text{основной долг}) + 3.5rS (\text{проценты}) = S(1 + 3.5r)$$

По условию: $$S(1 + 3.5r) = 1.63S$$ $$1 + 3.5r = 1.63$$ $$3.5r = 0.63$$ $$r = \frac{0.63}{3.5} = 0.18 \text{ (18\%)}$$

Ответ 18

1. Определим размеры платежей: $$\text{Пусть } x \text{ — первый платеж, тогда:}$$ $$x + 2x + 3x = 6x = 2\,395\,800 \Rightarrow x = 399\,300 \text{ руб.}$$ $$\text{Платежи: } 399\,300 \text{ руб., } 798\,600 \text{ руб., } 1\,197\,900 \text{ руб.}$$

2. Пусть $S$ — сумма кредита. Рассмотрим динамику долга:

• 01.03.2011 (после 1 года): $$Долг: 1.1S$$ $$После платежа: 1.1S - 399\,300$$
• 01.03.2012 (после 2 лет): $$Долг: 1.1(1.1S - 399\,300) = 1.21S - 439\,230$$ $$После платежа: 1.21S - 439\,230 - 798\,600 = 1.21S - 1\,237\,830$$
• 01.03.2013 (после 3 лет): $$Долг: 1.1(1.21S - 1\,237\,830) = 1.331S - 1\,361\,613$$ $$После платежа: 1.331S - 1\,361\,613 - 1\,197\,900 = 0$$

1. Решаем уравнение: $$1.331S = 2\,559\,513$$ $$S = \frac{2\,559\,513}{1.331} = 1\,923\,000 \text{ руб.}$$

Ответ 1,923,000

Пусть в $1$ классе $y$ мальчиков, тогда во $2$ классе будет $23-y$ мальчиков.

Процент мальчиков в $1$ классе:

$$\frac{y}{22}\cdot 100\%$$

Процент мальчиков во $2$ классе:

$$\frac{23-y}{21}\cdot 100\%$$

$(\frac{y}{22}+\frac{23-y}{21})\cdot 100\%$ должно быть наибольшим

$$100\%\cdot \frac{21y+22\cdot 23-22y}{22\cdot 21}=100\%\cdot \frac{22\cdot 23-y}{22\cdot 21}$$

является убывающей линейной функцией ($y$ - наименьшее)

Пусть $y=0$, тогда во $2$ классе $23$ мальчика, но во $2$ классе всего $21$ человек, значит, противоречие.

Пусть $y=1$, тогда в $1$ классе $2$ мальчика, а во $2$ классе $21$.

Значит, распределение должно быть таким, чтобы в $1$ классе $2$ мальчика и $20$ девочек, а во $2$ классе $21$.

Ответ: в 1 классе 2 мальчика и 20 девочек, а во 2 классе 21.