Финансовая математика

Пусть первоначальный вклад составляет $A$ млн рублей. Динамика изменений:

Итоговая сумма через 4 года: $$1{,}08(1{,}08^2(1{,}08A - 8) + 8) = 1{,}08^4A - 8 \cdot 1{,}08(1{,}08 - 1)(1{,}08 + 1)$$

Без манипуляций сумма составила бы: $$1{,}08^4A$$

Разница (потерянные средства): $$8 \cdot 1{,}08 \cdot 0{,}08 \cdot 2{,}08 = 1{,}437696 \text{ млн рублей} = 1\,437\,696 \text{ рублей}$$

Ответ 1,437,696

Пусть $S$ — сумма первоначального взноса для обоих вкладов.

1. Вклад «А»: - Ежегодное увеличение на 14% - Через 2 года: $S \times 1.14^2 = 1.2996S$
2. Вклад «Б»: - Первый год: увеличение на 8% → $S \times 1.08$ - Второй год: увеличение на $n\%$ → $1.08S \times \left(1 + \frac{n}{100}\right)$
3. Условие выгодности вклада «Б»: $$1.08 \times \left(1 + \frac{n}{100}\right) \times S > 1.2996S$$
4. Решаем неравенство: $$\begin{align*} 1.08 \times \left(1 + \frac{n}{100}\right) &> 1.2996 \\ 1 + \frac{n}{100} &> \frac{1.2996}{1.08} \\ \frac{n}{100} &> 1.203333... - 1 \\ n &> 20.333... \end{align*}$$
5. Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию: 21

Ответ 21

Обозначим:

• $2y$ — процентная ставка в первом банке
• $3y$ — во втором банке
• $5y$ — в третьем банке
• $A_1, A_2, A_3$ — суммы вкладов в соответствующие банки

По условию чистая прибыль одинакова: $$A_1 \cdot \frac{2y}{100} = A_2 \cdot \frac{3y}{100} = A_3 \cdot \frac{5y}{100}$$

Упрощаем: $$2A_1 = 3A_2 = 5A_3$$

Введем коэффициент пропорциональности $k$: $$A_1 = \frac{k}{2}, \quad A_2 = \frac{k}{3}, \quad A_3 = \frac{k}{5}$$

Приведем к общему знаменателю (30): $$A_1 : A_2 : A_3 = \frac{15}{30} : \frac{10}{30} : \frac{6}{30} = 15 : 10 : 6$$

Ответ 15 : 10 : 6

Годовые процентные ставки необходимо пересчитать в месячные:

• За 2 месяца: $\frac{6\%}{12} \cdot 2 = 1\%$ (или $0.5\%$ в месяц).
• За 4 месяца: $\frac{18\%}{12} \cdot 4 = 6\%$ (или $1.5\%$ в месяц).
• За 6 месяцев: $\frac{12\%}{12} \cdot 6 = 6\%$ (или $1\%$ в месяц).

Пусть первоначальная сумма вклада равна $K$ у.е. Заполним таблицу помесячных начислений:

Общая сумма начисленных процентов за полгода: $$0.005K + 0.0055K + 0.018K + 0.0195K + 0.014K + 0.015K = 0.077K \, \text{у.е.}$$

Процент от первоначального вклада: $$\frac{0.077K}{K} \cdot 100\% = 7.7\%.$$

Ответ 7.7

Пусть:

• $S = 64\,000$ руб. — начальная сумма вклада,
• $k = 1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ — повышающий коэффициент,
• $x$ — фиксированная сумма, добавляемая ежегодно.

Выразим сумму вклада по годам:

• Конец 1-го года: $kS + x$,
• Конец 2-го года: $k^2S + kx + x$,
• Конец 3-го года: $k^3S + k^2x + kx + x$,
• Конец 4-го года: $k^4S + k^3x + k^2x + kx$.

По условию сумма в конце 4-го года равна 385,000 руб.: $$k^4S + k^3x + k^2x + kx = 385\,000.$$

Выразим $x$: $$x = \frac{385\,000 - k^4S}{k^3 + k^2 + k}.$$

Подставим числовые значения: $$k^4S = \left(\frac{5}{4}\right)^4 \cdot 64\,000 = \frac{625}{256} \cdot 64\,000 = 156\,250,$$ $$k^3 + k^2 + k = \left(\frac{5}{4}\right)^3 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} = \frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} = \frac{125 + 100 + 80}{64} = \frac{305}{64}.$$

Тогда: $$x = \frac{385\,000 - 156\,250}{\frac{305}{64}} = \frac{228\,750 \cdot 64}{305} = 48\,000.$$

Ответ: 48,000