Планиметрическая задача — задачи ЕГЭ по математике — EXTREMUM

Тип 17 № 12552

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$ .

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$ .

Решение:

а)

Прямая $ML || AC$ , так как она содержит среднюю линюю треугольника $ABC$ , тогда: $\angle LAC = \angle ALM \text{ как накрест лежащие углы }$ $\angle LAC = \angle LAM \text{ по условию }$ Значит $\triangle AML$ – равнобедренный, так как углы $MAL$ и $MLA$ равны при основании $AL$ . Так как точка $M$ – середина стороны $AB$ , имеем: $AM = ML = MB$ А значит треугольник $ALB$ – прямоугольный, так как $LM$ медиана, равная половине стороны $AB$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACB$ и $ALB$ . Они имеют общую гипотенузу $AB \Rightarrow$ четырёхугольник $ABLC$ – вписанный. Отсюда имеем:

$\begin{cases} \angle BAL = \angle BCL= \angle LAM\\ \angle LAC = \angle LBC = \angle LAM \end{cases} \Rightarrow \triangle AML \sim \triangle BLC \text{ по двум углам}$

б) Пусть угол $LAC$ равен $\alpha$ , тогда $\angle BAC = 2\alpha$ и $\cos\angle BAC = \cos2\alpha = \frac{7}{25}$

Так как треугольники $AML$ и $BLC$ подобны, имеем:

$\frac{CL}{ML} = \frac{CB}{AL} =\frac{LB}{AM} = \frac{LB}{\frac{AB}{2}} = \frac{2LB}{AB} = k$

В прямоугольном треугольнике $LAB$ , $\sin LAB = \frac{LB}{AB} = \sin \alpha \Rightarrow 2\sin\alpha = k$

По формуле понижения степени:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}}= \frac{3}{5}$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия:

$\frac{S_{BLC}}{S_{AML}} = k^2 = (2\sin\alpha)^2 = 4\cdot\frac{9}{25} = \frac{36}{25}$

Ответ: $\frac{36}{25}$

Тип 17 № 12553

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ причем $CM=BC$ и $CN=AC$ .

а) Отрезки $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CH$ и $CF$ перпендикулярны.

б) Прямые $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $L$ . Найдите $LM$ если $BC=4$ , а $AC=8$ .

Решение:

а)

Рассмотрим прямоугольные треугольники  $ABC$  и  $NMC$ . Они равны по двум сторонам и углу между ними. (CM = BC, CN = AC)

Обозначим угол  $CAB$  за  $\alpha$ , тогда:

 $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$ 

 $\angle CAB = \angle CNM$ 

Учитывая, что треугольники  $ABC$  и  $NMC$  равны, из прямоугольного треугольника  $FCN$  имеем:
 $\angle FCN = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \angle FCM = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$ 
Значит:
 $\angle FCH = \angle FCM + \angle ACH = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$

б) Рассмотрим треугольники $ACN$ и $CMB$ . Из условия известно, что $CN = AC$ и $CM = BC$ , значит эти треугольники равнобедренные. Отсюда имеем:

$\angle LAM = \angle NAC = 45^\circ$ $\angle AML = \angle CMB = 45^\circ$

Следовательно $\angle ALM = 90^\circ$ . Получаем, что треугольник $ALM$ равнобедренный и прямоугольный, откуда: $LM = \frac{\sqrt2}{2}AM = \frac{\sqrt2}{2}(AC - MC) = \frac{\sqrt2}{2}(AC - BC) = 2\sqrt2$

Ответ: $2\sqrt2$

Тип 17 № 12554

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$ .

Решение:

$a)$

Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$ . Угол $CC_1A$ по условию прямой ( $CC_1$ высота), следовательно он опирается на диаметр окружности $AC$ .

Тогда угол $AA_1C$ также является прямым, так как опирается на диаметр окружности $AC$ . Значит, $AA_1$ является медианой и высотой в треугольнике $ABC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow$ треугольник $ABC$ является равнобедренным.

б) Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ . Они подобны по двум углам: $\angle CBA$ – общий, $\angle AA_1B = \angle CC_1B$ . Составим пропорции: $\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{4}$

Рассмотрим треугольник $CC1B$ . Точка $A_1$ – серидина гипотенузы $BC$ . Значит, $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла. Тогда: $A_1C_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow 2C_1A_1 = BC = 8$ $\frac{AB}{BC} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow AB = \frac{5\cdot BC}{4} = 10$

Найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S_{ABC} = \frac{AA_1\cdot BC}{2}$

Найдём $AA_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$ : $AA_1 = \sqrt{(BA)^2 - (BA_1)^2} = \sqrt{100 - 16} = 2\sqrt{21}$

Подставляем: $S_{ABC} = \frac{2\sqrt{21}\cdot8}{2} = 8\sqrt{21}$

Ответ: $8\sqrt{21}$

Тип 17 № 12569

На стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$ . Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что $AC^2 + CD^2=AD^2+DB^2$ .

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$ . Найдите отношение $AT:TC$ , если $\cos \angle ABC = \cfrac{3}{8}$ .

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна, Центр, Москва, Санкт-Петербург

Решение:

Решение

а)

В прямоугольном $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2=AB^2$

В прямоугольном $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $AD^2 + BD^2=AB^2$

Из этих двух равенств получим, что $AC^2 + BC^2=AD^2 + BD^2$

Так как $AC$ — биссектриса, то

$\angle DAC = \angle CAB$

$\angle DAC = \angle DBC, \quad \text{так как опираются на одну дугу} CD$

Тогда $CD = CB$ , как хорды, опирающиеся на равные дуги, отсюда $AC^2 + CD^2=AD^2 + BD^2$

б) Заметим, что $\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$ , тогда точки $A, D, C, B$ лежат на одной окружности, при этом $AB$ - диаметр этой окружности.
Далее, $\angle BAC = \angle DBC$ , так как опираются на одну дугу.
Обозначим $\angle BAC = \alpha$
$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$ (из $\triangle ABC$ )
$\sin \alpha = \sin(90^\circ -\angle ABC)=\cos \angle ABC= \cfrac{3}{8}$
Найдем $\cos \alpha$ используя основное тригонометрическое тождество:

$\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1- \left(\frac{3}{8}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$

Теперь найдем $\tg \alpha$ : $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cfrac{\cfrac{3}{8}}{\cfrac{\sqrt{55}}{8}}= \frac{3}{\sqrt{55}}$

В прямоугольном $\triangle ABC$ : $BC = \tg \alpha \cdot AC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC$

В прямоугольном $\triangle BTC$ : $TC = \tg \alpha \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC = \frac{9}{55} \cdot AC$

$AT = AC - TC = \frac{46}{55}\cdot AC$

Тогда $\frac{AT}{TC} = \cfrac{\cfrac{46}{55}\cdot AC}{\cfrac{9}{55} \cdot AC} = \frac{46}{9}$

Ответ: $46:9$

Тип 17 № 12570

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$ . На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

[а)] Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
[б)] Найдите отношение $EH:AC$ , если угол $ABC$ равен $30^\circ$ .

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Решение:

а)

Углы $\angle AMC$ и $\angle AKC$ равны $90^\circ$ , значит точки $A, M, K, C$ лежат на одной окружности, а $AC$ ее диаметр.
Обозначим $\angle KAC = \alpha$
$\angle KAC = \angle KMC = \alpha$ , так как опираются на одну дугу.
Заметим, что углы $\angle MEK$ и $\angle MHK$ равны $90^\circ$ , значит точки $M, E, H, K$ лежат на одной окружности, а $MK$ ее диаметр.
$\angle KMH = \angle KEH = \alpha$ , так как опираются на одну дугу.
Тогда $EH \parallel AC$ при соответственных $\angle KEH$ и $\angle KAC$ равных $\alpha$ .
б) Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle EOH$
$\angle OAC = \angle OEH = \alpha$ , а $\angle O$ - общий, значит $\triangle AOC \sim \triangle EOH$ .
Далее, найдем $\angle AOM$ :
$\angle AOM = 90^\circ - \angle MAO = 90^\circ - \angle BAK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
В прямоугольном $\triangle AMO$ : $\ MO = AO \cdot \cos \angle AOM$

Теперь, в прямоугольном $\triangle MOE$ : $\ EO = MO \cdot \cos \angle AOM = AO \cdot \cos^2 \angle AOM = AO \cdot \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}AO$

Таким образом, коэффициент подобия треугольников $\triangle EOH$ и $\triangle AOC$ равен $\cfrac{3}{4}$ , значит $EH:AC = 3:4$
Ответ: $3:4$