Задача с параметром

Система из условия равносильна следующей:

$$\left\{ \begin{array}{l} y=-x+a\\ \left\{ \begin{array}{l} y=x^2-2x\\ y=-x^2+2x \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy$, являющихся решением совокупности. Тогда необходимо найти такие $a$, при которых прямая $y=-x+a$ имеет 2 общие точки со множеством $S$. Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y=-x+a$.

Нам подходят положения прямой $y=-x+a$ ниже положения (1) или выше положения (2). Положение (1): прямая $y=-x+a_1$ касается параболы $y=x^2-2x$. Тогда уравнение

$$x^2-2x=-x+a_1$$

$$x^2-x-a_1=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_1=0$$

$$1+4a_1=0$$

$$a_1=-\frac{1}{4}$$

Положение (2): прямая $y=-x+a_2$ касается параболы $y=-x^2+2x$. Тогда уравнение

$$-x^2+2x=-x+a_2$$

$$x^2-3x+a_2=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_2=0$$

$$9-4a_2=0$$

$$a_2=\frac{9}{4}$$

Следовательно, нам подходят значения параметра

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right).$$

Ответ:

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right)$$

Исключив $y$ из системы, получим уравнение

$$|x^2-2x|-4x-a=0$$

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x\ge 0\\ a=x^2-6x \end{array} \right.\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x<0\\ a=-x^2-2x \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a_0$ параметра $a$, при каждом из которых ровно две точки вида $(x_0;a_0)$, где $x_0\in R$, принадлежат множеству решений $S$, изображенному на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$.

Видим, что нам подходят все положения горизонтальной прямой $a=a_0$ выше положения, когда горизонтальная прямая проходит через вершину параболы $a=x^2-6x$, то есть через точку $(3;-9)$. Следовательно, нам подходят значения параметра $a>-9$.

Ответ:

$$a\in(-9;+\infty)$$

Решение:

Система определена при выполнении условия $y \geq x - 8$.

Тогда система равносильна: $$\begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &xy - x + 8 = 0\\ &y - x + 8 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &y= 1 - \frac{8}{x}\\ &y = x - 8 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=2x + a$ - семейство прямых имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

До положения $1$ прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, следовательно система будет иметь ровно 1 решение, что нам не подходит.

От положения $1$ не включительно до положения $2$ включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать прямую $y = x - 8$ и правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$, следовательно система будет иметь ровно 2 решения, что нам подходит.

В положении $2$ прямая $y = 2x + a$ пересекает общую точку пересечения правой ветви гиперболы и прямой $y = x - 8$, что дает нам ровно 2 решения.

От положения $2$ не включительно до положения $3$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам 3 решения системы.

В положении $3$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться правой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения.

От положения $3$ не включительно до положения $4$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 1 решение.

В положении $4$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться левой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения системы.

От положения $4$ не включительно и выше прямая $y = 2x + a$ будет пересекать левую ветвь гиперболы в двух точках и прямую $y = x - 8$, что будет давать нам 3 решения.

Найдём значения параметра в граничных точках:

Найдём значения параметра в граничных точках:

1

$$y = 2x + a \Leftrightarrow 0 = 2\cdot8 + a \Leftrightarrow a = -16$$

2

$$-7 = 2\cdot1 + a \Leftrightarrow a = -9$$

3

$$2x + a = 1 - \frac{8}{x} \Leftrightarrow \frac{2x^2+ ax- x + 8 }{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 + x(a - 1) + 8}{x} = 0$$ Когда данное уравнение будет иметь ровно 1 решение, мы получим значение параметра обеспечивающее $$D = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2 - 64 = 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) = 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = 9 \quad \text{или} \quad a = -7$$

Значение $a = -7$ соответствует положению $3$, а значение $a = 9$ соответствует положению $4$.

Следовательно, получаем ответ: $$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$$

Решение:

$$(*) \begin{cases} 3x - a > 0 \\ 4x + a > 0 \\ 5x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{5x - 3}\left(\ln(3x - a) - \ln(4x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{5x - 3} = 0 \\ &\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{5x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{5}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$:

$$\begin{cases} \tfrac{9}{5} - a > 0 \\ \tfrac{12}{5} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{9}{5}\\ a > -\tfrac{12}{5} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{12}{5}; \frac{9}{5}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \Rightarrow 3x - a = 4x + a \Rightarrow x = -2a$$ Проверим условия: $$\begin{cases} 4x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\\ 5x -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1\\ 5(-2a) -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -7a > 0 \\ 0 \geq a \geq -\frac{1}{2}\\ a \leq -\frac{3}{10} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{10}\right]$$

Замечание: одно из условий $3x - a$ или $4x + a$ можно опустить для этого корня при проверке, так как для решения уравнения $\ln(3x - a) = \ln(4x + a)$ достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них.

Проверим совпадение корней: $$\frac{3}{5} = -2a \Rightarrow a = -\frac{3}{10}$$

Пересекая значения параметра $a$, при которых $x = \tfrac{3}{5}$ и $x = -2a$ являются корнями уравнения, мы получим значения параметра, при которых исходное уравнение имеет два корня на отрезке $[0; 1]$, что нам не подходит, соответственно в ответ мы возьмём только те значения параметра, при которых ровно $1$ корень является решением уравнения, с учётом совпадения корней при $a = -\tfrac{3}{10}$:

$$a \in \left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$.

Решение:

$$(*) \begin{cases} x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0 \\ 7x - 4 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{7x - 4} = 0 \\ &\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{7x - 4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \in [0; 4]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{4}{7}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\cdot\frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{625}{49} > a^2 \Rightarrow a \in \left(-\frac{25}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-4)^2 = a^2$$ $$\Rightarrow x = 4 \pm a$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = 4 - a$: $$\begin{cases} 4 - a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 - a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq \frac{24}{7} \\ 0 \leq a \leq 4 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[0; \frac{24}{7}\right]$$

2. Для $x = 4 + a$: $$\begin{cases} 4 + a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 + a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq -\frac{24}{7} \\ -4 \leq a \leq 0 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{24}{7}; 0\right]$$

Проверим совпадение корней: $$4 - a = 4 + a \Rightarrow a = 0$$ $$4 - a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = \frac{24}{7}$$ $$4 + a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = -\frac{24}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$ при: $$a \in \left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$