Задача с параметром

Данное уравнение с помощью замены $\cos^2 x=t$ сводится к квадратному: $$t^2-(a-2)t-3(a+1)=0 \qquad (*)$$

Далее заметим, что $$-1\le \cos x\le 1 \quad \Rightarrow \quad 0\le \cos^2 x\le 1$$

То есть уравнение $\cos^2 x=t$ имеет решения относительно $x$ при $t\in[0;1]$.

Найдем в явном виде корни полученного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $$\begin{cases} t_1+t_2=a-2,\\ t_1\cdot t_2=-3(a+1) \end{cases}$$

$$t_1=-3;\quad t_2=a+1$$

Так как $-3\notin[0;1]$, то исходное уравнение имеет решения, если $0\le a+1\le 1$.

Отсюда получаем ответ $-1\le a\le 0$.

Ответ: $$a\in[-1;0]$$

Сделаем замену $t=x^2-6|x|+a=(|x|-3)^2+a-9$. Тогда уравнение примет вид $$t^2+10t+26=\cos\frac{16\pi}{a} \quad \Leftrightarrow \quad (t+5)^2=\cos\frac{16\pi}{a}-1$$

Так как $\cos\alpha\in[-1;1]$, то $\cos\alpha-1\in[-2;0]$. Следовательно, правая часть равенства $\le 0$. Левая же часть равенства как полный квадрат $\ge 0$. Следовательно, равенство возможно только в том случае, когда обе части равенства равны $0$: $$\begin{cases} \cos\dfrac{16\pi}{a}=1,\\ t=-5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{16\pi}{a}=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z},\\ (|x|-3)^2=4-a \end{cases} \qquad (*)$$

Уравнение $A^2=B$ имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Уравнение $|C|=D$ также имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Следовательно, уравнение $(*)$ может иметь от $0$ до $4$ решений.

$2$ решения оно имеет, если

• 1. квадратное уравнение имеет два решения, а из получаемых двух модульных уравнений одно имеет два решения, а другое — не имеет решений. Это выполняется, если $4-a>0$, откуда $|x|=3\pm\sqrt{4-a}$ и $3+\sqrt{4-a}>0$, $3-\sqrt{4-a}<0$. Получаем $a<-5$.
• 1. квадратное уравнение имеет одно решение, а получаемое модульное уравнение имеет два решения. Это выполняется, если $4-a=0$, откуда $|x|=3$, тогда $x=\pm 3$. Следовательно, $a=4$.

  Ответ: $$a\in\{-8;4\}$$

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень $x=2$.

Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию $2-x\ge 0$.

Решим уравнение $4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2=0$. Если сделать замену $2^x=t$, причем $t>0$, то уравнение примет вид $$t^2-3t+a(3-a)=0.$$

По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут $$t_1=a \quad \text{и} \quad t_2=3-a.$$

То есть $2^x=a$ и $2^x=3-a$. Заметим, что если, например, $a\le 0$, то уравнение $2^x=a$ не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение $x=\log_2 a$.

Число $x=2$ будет являться решением уравнений $2^x=a$ или $2^x=3-a$, если $a=4$ или $3-a=4$ соответственно.

Таким образом, исходное уравнение $$\left(4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2\right)\cdot\sqrt{2-x}=0$$ будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.

1. $a\ne 3-a$. Тогда либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $\le 0$, давая противоречие с условием $t>0$; либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $=4$, поскольку при $x>4$ он не будет удовлетворять условию $2-x\ge 0$, а при $=4$ будет совпадать с уже имеющимся корнем $x=2$. При этом другой корень должен оказаться $>0$ и $<4$.

Это условие задается совокупностью: $$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &a\le 0\\ &a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<3-a<4 \end{aligned} \right.\\[1.5ex] \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &3-a\le 0\\ &3-a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<a<4 \end{aligned} \right. \end{gathered} \right.$$

Решением совокупности будут $$a\in(-1;0]\cup[3;4)$$

1. $a=3-a$, $a>0$ и $a<4$. Следовательно, $a=1{,}5$.

Объединяя случаи, получаем окончательно $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$

Ответ: $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=3\sqrt[5]{6,2x-5,2}+4\log_{5}(4x+1)+5a.$$ Она определена при $x>- \frac{1}{4}$, возрастает на области определения и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Значит, уравнение $f(x)=0$ имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку $[1;6]$ тогда и только тогда, когда $f(1)\le 0$ и $f(6)\ge 0$. Получаем систему неравенств: $$\begin{cases} 3+4+5a\le 0,\\ 6+8+5a\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5a+7\le 0,\\ 5a+14\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{14}{5}\le a\le \frac{7}{5}.$$

Ответ: $$a\in\left[-\frac{14}{5};-\frac{7}{5}\right].$$

Так как композиция двух функций одинакового характера монотонности является возрастающей функцией, то $f_1(x)=\sqrt{x-a}$ и $f_2(x)=\sqrt{x^{3}+1}$ — возрастающие функции. Сумма двух возрастающих функций $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ — возрастающая функция, следовательно, $f(x)$ возрастает на всей области определения: $$\begin{cases} x>a,\\ x\ge -1 \end{cases}$$ Тогда уравнение $f(x)=const$ имеет не более одного решения.

1. Пусть $a\le -1$, тогда областью определения являются $x\ge -1$. Тогда $f(x)>f(-1)$. Следовательно, $x_0$ — решение исходного уравнения, если $f(x_0)= 2$ и $f(-1)$: $$\begin{cases} 2\ge \sqrt{1-a}\\ a\le -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 0\le -1-a\le 4\\ a\le -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -5\le a\le -1 \end{cases}$$ Наименьшее $a$ среди найденных равно $a=-5$.

2. Пусть $a>-1$, тогда областью значений являются $x\ge a$. Тогда $f(x)>f(a)$. Следовательно, $x_0$ — решение исходного уравнения, если $f(x_0)=2 \ge f(a)$: $$\begin{cases} 2\ge \sqrt{a^3 +1}\\ a>-1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 0\le a^3+1\le 4\\ a>-1 \end{cases} \Longleftrightarrow -1<a\le \sqrt[3]{3}$$ Наибольшее $a$ среди найденных равно $a=\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $$a\in[-5;\sqrt[3]{3}]$$