Числа и их свойства

а) Допустим, что на доске были записаны числа $$10a_1+b_1,\ 10a_2+b_2,\ \ldots,\ 10a_n+b_n,$$ где $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n$ — соответствующие цифры этих чисел. Пусть $$A=a_1+a_2+\dots+a_n,\qquad B=b_1+b_2+\dots+b_n.$$ Тогда по условию сумма записанных на доске чисел $$(10a_1+b_1)+(10a_2+b_2)+\dots+(10a_n+b_n)=10A+B=363.$$ А сумма после перестановки цифр будет $$(10b_1+a_1)+(10b_2+a_2)+\dots+(10b_n+a_n)=10B+A=1452$$ (так как $363\cdot 4=1452$).

Имеем два уравнения с двумя неизвестными: $$\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=1452. \end{cases}$$ Сложив эти уравнения, получаем $$11A+11B=1815,$$ обе части делим на $11$: $$A+B=165.$$

Но мы ещё можем уточнить, выразив $B=165-A$ и подставив в первое уравнение: $$10A+165-A=363,$$ $$9A=198,$$ $$A=22,\qquad B=143.$$

То есть сумма вторых цифр в записанных числах должна быть более чем в шесть раз больше суммы первых цифр. Числа находим методом подбора. Условию соответствует случай, когда на доске написано 20 раз число 17 и число 23. Их сумма равна $$20\cdot 17+23=363.$$

После перестановки цифр на доске будет написано 20 раз число 71 и число 32. Их сумма равна $$20\cdot 71+32=1452,$$ $$1452=363\cdot 4.$$

б) Так как вторая сумма должна быть в 2 раза больше, получаем два уравнения с двумя неизвестными: $$\begin{cases} 10A+B=363,\\ 10B+A=726. \end{cases}$$ Сложив эти уравнения, получаем $$11A+11B=1089,$$ обе части делим на $11$: $$A+B=99.$$

Выразив $B=99-A$ и подставив в первое уравнение: $$10A+99-A=363,$$ $$9A=264,$$ $$A=\frac{264}{9}=88:\!3,$$ это дробное число. Противоречие, так как сумма цифр не может быть дробной.

в) Нам необходимо найти наибольшее значение суммы $$S=10B+A=10(363-A)+A=3630-10A+A=3630-99A.$$

Так как $b_1\le 9a_1$, $b_2\le 9a_2$, …, $b_n\le 9a_n$, то $$B\le 9A.$$ Тогда из равенства $$10A+B=363$$ получаем неравенство $$10A+9A\ge 363,$$ или $$19A\ge 363,\qquad A\ge \frac{363}{19}>19.$$

То есть самое маленькое значение, которое может принимать $A$, равно $$A=20.$$ А самое большое значение суммы $$S=3630-99A=3630-1980=1650.$$

Итак, наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел равно 1650. Учтём, что наибольшее увеличение при перемене местами цифр даёт число 19. Представляем $$363=19\cdot 18+21,$$ после перестановки цифр получаем $$91\cdot 18+12=1650.$$

Ответ: а) 20 раз число 17 и число 23; б) нет; в) 1650.

а) Нет. $$S=\frac{2n_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что $S=13$, то $$(2n_1+d(n-1))\cdot n=26.$$ Заметим, что $26=13\cdot 2$, поскольку $n\ge 3$, $n=13$ или $n=26$. Но сумма $13$-ти различных натуральных чисел больше $13$.

б) Все данные $n$ чисел натуральные, поэтому наименьшее из них больше или равно $1$, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее чем на $1$), то их сумма $S$ не меньше суммы $$1+2+3+\ldots+n,$$ то есть $$S\ge \frac{n(n+1)}{2}.$$ Если известно, что $S<500$, то из неравенства $$\frac{n(n+1)}{2}\le S$$ следует, что $$\frac{n(n+1)}{2}<500,\qquad n(n+1)<1000,$$ откуда $n<32$ (при $n\ge 32$ имеем: $n(n+1)=32\cdot 33>1000$). При $n=31$ имеем: $$n(n+1)=31\cdot 32<1000,$$ натуральные числа от $1$ до $31$ (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно $31$, а сумма меньше $500$. Таким образом, наибольшее возможное значение $n$ в пункте б) равно $31$.

в) Пусть $a_1$ — наименьшее из данных $n$ чисел, образующих арифметическую прогрессию, $d$ — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих $n$ чисел равна $$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что сумма данных $n$ чисел равна $57$, то $$(2a_1+d(n-1))\cdot n=114.$$ Заметим, что $114=2\cdot 3\cdot 19$ и $n$ — один из делителей числа $114$.

Поскольку $n\ge 3$, то возможные значения $n=3,\,6,\,19,\,38,\,57$ и $114$. Исходя из неравенства $$n\cdot (n+1)\le 114,$$ получим, что $n\le 10$.

При $n=3$ получаем равенство $$a_1+d=19,$$ которое выполняется, например, при $a_1=1$, $d=18$. Прогрессия $1;\,19;\,37$ состоит из $3$ членов, сумма равна $57$.

При $n=6$ получаем равенство $$2a_1+5d=19,$$ которое выполняется при $a_1=2$, $d=3$. Прогрессия $2,\,5,\,8,\,11,\,14,\,17$ состоит из $6$ членов, сумма равна $57$.

Ответ: а) нет; б) $31$; в) $3,\,6$.

Решение. Обозначим сумму всех чисел на красных карточках $S_{red}$, а сумму всех чисел на синих карточках $S_{blue}$. Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то

$$\frac{S_{red}+S_{blue}}{50}=16 \Rightarrow S_{red}+S_{blue}=16\cdot 50=800$$

После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31{,}2, то есть

$$\frac{S_{red}+2\cdot S_{blue}}{50}=31{,}2 \Rightarrow S_{red}+2\cdot S_{blue}=31{,}2\cdot 50=1560$$

$$(S_{red}+2\cdot S_{blue})-(S_{red}+S_{blue})=1560-800 \Rightarrow S_{blue}=760$$

$$S_{red}=800-S_{blue}=800-760=40$$

a) Если синих карточек 10, то красных

$$50-10=40$$

Так как на всех карточках написаны натуральные числа, то каждое число равно минимум 1. В таком случае сумма чисел на красных карточках равна 40, поскольку на всех красных карточках написано по 1. Иначе если увеличить хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа могли быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна

$$760=76\cdot 10$$

Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудаленных от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример:

$$71,\ 72,\ 73,\ 74,\ 75,\ 77,\ 78,\ 79,\ 80,\ 81$$

Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках.

б) Если красных карточек 10, то синих

$$50-10=40$$

Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум $10\cdot 3=30$, но $S_{red}=40$ — противоречие. Значит, красная карточка с числом 4 или больше, значит, числа на синих карточках не меньше 5. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках. Для этого вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: если $a_1$ — первый член, и $d$ — разность прогрессии, то

$$S_n=\frac{2a_1+d\cdot(n-1)}{2}\cdot n$$

Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40:

$$5+6+\dots+44=\frac{49\cdot 40}{2}=980>760$$

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не могло.

в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум

$$2\cdot 14=28<40$$

Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если чисел хотя бы бы 36:

$$4+5+\dots+39=\frac{43\cdot 36}{2}=774>760$$

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих. Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек.

Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой

$$S_{red}=2\cdot 5+3\cdot 10=40$$

Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно

$$760-697=63$$

Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках. Значит, максимум могло быть 35 синих карточек.

Ответ: a) Да, может

б) Нет, не может

в) 35.

Решение.

a) Предположим, что количество синих карт равно 1. Тогда самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, то есть $3\cdot 1=3$.

Но по условию все числа на красных картах делятся на 8. Число 3 не делится на 8. Противоречие. Значит, количество синих карт не может быть равным 1.

b) Пусть синих карт 40, а красных карт $r$.

Самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, то есть $3\cdot 40=120$. Заметим, что $120:8=15$, то есть 120 делится на 8, что соответствует условию для красных карт.

Самое большое число на синей карте равно количеству красных карт, то есть $r$. По условию оно должно делиться на 5, значит, $r$ кратно 5.

Числа на картах одного цвета различны и не меньше $-30$.

Синие карты. Имеется 40 синих карт с различными числами, кратными 5, не меньшими $-30$, и с наибольшим числом $r$. Чтобы такой набор существовал, количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от $-30$ до $r$ должно быть не меньше 40: $$\frac{r-(-30)}{5}+1\ge 40$$ $$\frac{r+30}{5}+1\ge 40$$ $$\frac{r+30}{5}\ge 39$$ $$r+30\ge 195$$ $$r\ge 165.$$

Красные карты. Имеется $r$ красных карт с различными числами, кратными 8, не меньшими $-30$, и с наибольшим числом 120. Наименьшее кратное 8 число, не меньшее $-30$, — это $-24$. Количество различных чисел, кратных 8, в промежутке от $-24$ до 120: $$\frac{120-(-24)}{8}+1=\frac{144}{8}+1=18+1=19.$$ Значит, красных карт не может быть больше 19. Но из условия для синих карт мы получили $r\ge 165$. Противоречие. Следовательно, 40 синих карт быть не может.

в) Пусть $s$ — количество синих карт, $r$ — количество красных карт.

Самое большое число на красной карте равно $3s$, и оно должно делиться на 8. Самое большое число на синей карте равно $r$, и оно должно делиться на 5.

Числа на красных картах кратны 8, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно $3s$. Количество различных чисел, кратных 8, в промежутке от $-30$ до $3s$ не может быть меньше $r$. Наименьшее кратное 8 число, не меньшее $-30$, — это $-24$. Всего таких чисел: $$\frac{3s-(-24)}{8}+1=\frac{3s+24}{8}+1=\frac{3s+32}{8}.$$ Так как всего красных карт $r$, то $$r\le \frac{3s+32}{8}.$$

Числа на синих картах кратны 5, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно $r$. Количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от $-30$ до $r$ не может быть меньше $s$. Всего таких чисел: $$\frac{r-(-30)}{5}+1=\frac{r+30}{5}+1=\frac{r+35}{5}.$$ Так как всего синих карт $s$, то $$s\le \frac{r+35}{5}.$$ $$r\ge 5s-35.$$

Из двух ограничений получаем: $$5s-35\le r\le \frac{3s+32}{8}$$ $$5s-35\le \frac{3s+32}{8}$$ $$40s-280\le 3s+32$$ $$37s\le 312$$ $$s\le \frac{312}{37}=8\frac{16}{37}.$$ Так как $s$ — целое, получаем $s\le 8$.

Пусть $s=8$. Тогда наибольшее число на красной карте равно $3\cdot 8=24$. Заметим, что $24:8=3$, то есть 24 делится на 8, что соответствует условию.

Из неравенства $$5s-35\le r\le \frac{3s+32}{8}$$ при $s=8$ получаем: $$5\cdot 8-35\le r\le \frac{3\cdot 8+32}{8}$$ $$5\le r\le 7.$$

Кроме того, $r$ должно быть кратно 5. В промежутке от 5 до 7 единственное кратное 5 число — это 5. Значит, $r=5$.

Составим набор карт:

• Синие карты (8 штук). Числа кратны 5, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно 5. Это в точности набор $-30,-25,-20,-15,-10,-5,0,5$.
• Красные карты (5 штук). Числа кратны 8, различны, не меньше $-30$, наибольшее равно 24. Это в точности набор $24,16,8,0,-8$.

Таким образом, $s=8$ возможно. Следовательно, наибольшее количество синих карт равно 8.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 8.

Решение:

а) Да, например, $$210=21\cdot 10$$

б) Все числа из диапазона [440, 499] начинаются с 4, вычеркнув любую цифру, полученное число будет не меньше 40, но тогда $$40\cdot 40 = 1600 > 500$$ Значит, уравнение быть верным не может. \newline \newline в) $$810=81\cdot 10$$ Покажем, почему не найдется числа больше. Все числа начинаются с 8, если их не вычеркнуть то получим $$80\cdot 80 > 900$$ Если ни в одном двузначном числе нет восьмерки, то $B=C$ и $A=B^2$. $$28^2=784, \quad 29^2 = 841,\quad 30^2=900$$ То есть, 841 единственное возможное число, однако, $41^2 \neq 841$. Тогда одно из чисел сохраняет в себе восьмерку, а второе состоит из последних двух цифр числа $A$. Рассмотрим следующее число --- 811, тогда $$81\cdot 11 = 891 \neq 811$$ Значит, последние две цифры числа не меньше 12, а второе число не меньше 80 $$80\cdot12 =960 >900$$ Значит, наибольшее $A$ равно 810. \newline \newline Ответ: а) Да; б) Нет; в) 810.