Числа и их свойства

Пусть масса новой детали равна $m$ кг, тогда масса старой детали равна $m+0{,}1$ кг. Пусть из $21$ кг материала изготавливается $n$ деталей старого типа. Тогда из $18$ кг материала изготавливается $n+2$ деталей нового типа.

По условию $$\begin{cases} 21 = (m+0{,}1)n + q_1, & 0 \le q_1 < m+0{,}1, \\ 18 = m(n+2) + q_2, & 0 \le q_2 < m. \end{cases}$$

Отсюда $$\begin{cases} \dfrac{21}{m+0{,}1} = n + \dfrac{q_1}{m+0{,}1}, \\ \dfrac{18}{m} = n + 2 + \dfrac{q_2}{m}. \end{cases}$$ Так как $$0 \le \frac{q_1}{m+0{,}1} < 1, \qquad 0 \le \frac{q_2}{m} < 1,$$ получаем систему неравенств $$\begin{cases} n \le \dfrac{21}{m+0{,}1} < n+1, \\ n+2 \le \dfrac{18}{m} < n+3. \end{cases}$$

Вычитая первое неравенство из второго, получаем $$1 < \frac{18}{m} - \frac{21}{m+0{,}1} < 3.$$

Приводя к общему знаменателю и учитывая $m>0$, получаем эквивалентную систему $$\begin{cases} -3m^2 - 3{,}3m + 1{,}8 < 0, \\ - m^2 - 3{,}1m + 1{,}8 > 0. \end{cases}$$

Решая её, находим $$m \in (0{,}4;\,0{,}5).$$

а) Если на $50$ деталей хватает $18$ кг, а на $51$ — нет, то $$50m < 18 < 51m,$$ то есть $$\frac{18}{51} < m < \frac{18}{50}.$$ Но $$\frac{18}{50} = 0{,}36 < 0{,}4,$$ что противоречит найденному ранее условию $m\in(0{,}4;0{,}5)$. Следовательно, такой случай невозможен.

б) Аналогично, если $$32m < 18 < 33m,$$ то $$\frac{18}{33} < m < \frac{18}{32}.$$ Но $$\frac{18}{32} = 0{,}5625 > 0{,}5,$$ а $$\frac{18}{33} > 0{,}5,$$ что также не пересекается с интервалом $(0{,}4;0{,}5)$. Следовательно, и этот случай невозможен.

в) Пусть из $10$ кг материала можно изготовить $x$ новых деталей массы $m$. Тогда $$10 = xm + q,\qquad 0 \le q < m,$$ то есть $$xm \le 10 < (x+1)m.$$ Отсюда $$\frac{10}{x+1} < m \le \frac{10}{x}.$$

С учётом условия $m \in (0{,}4;0{,}5)$ получаем $$\begin{cases} \displaystyle \frac{10}{x} > 0{,}4 \;\Rightarrow\; x < 25,\\[6pt] \displaystyle \frac{10}{x+1} < 0{,}5 \;\Rightarrow\; x > 19. \end{cases}$$

Так как $x$ — натуральное число, возможны значения $$x = 20, 21, 22, 23, 24.$$

Ответ:

• [a)]а) Нет
• [б)] б)Нет
• [в)] в)$20,\,21,\,22,\,23,\,24$

а) да. Можно, например, сделать такие действия:

$$(101,102,103,0)\mapsto(100,101,102,3)\mapsto(99,100,101,6)\mapsto(98,99,104,5)\mapsto(97,102,103,4).$$

б) Если в одной коробке окажется $306$ камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках $1$ и $2$ количества камней каждый ход меняют чётность, поэтому всегда остаются разной чётности и не могут оба стать нулями.

в) Покажем, как получить в первой коробке $303$ камня:

$$(101,102,103,0)\mapsto(100,101,102,3)\mapsto(99,100,101,6)\mapsto\ldots\mapsto(75,76,77,78)\mapsto(78,75,76,77)\mapsto(81,74,75,76)\mapsto\ldots\mapsto(303,0,1,2).$$

Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на $4$, и это свойство сохраняется, поскольку от каждого количества вычитают $1$, а потом к одному прибавляем $4$. Значит, минимум $0+1+2$ камня не попадут в четвёртую коробку, что даёт оценку

$$101+102+103-0-1-2=303$$ камня.

Ответ: а) да; б) нет; в) $303$.

Поскольку $A+2+B-1=A+B+1$, с каждым ходом сумма чисел будет возрастать на $1$.

а) После $20$ ходов сумма станет

$$7+11+20=38<50,$$ значит, второе число пары не будет натуральным. Это запрещено.

б) Понадобится

$$600-(7+11)=582$$ хода. Такая ситуация возможна, если каждый раз на роль уменьшаемого выбирать большее из двух чисел — если оно равно $1$, то оба числа должны быть единицами, что невозможно, поскольку сумма чисел постоянно растёт и в самом начале равна

$$7+11>1+1.$$

в) Заметим, что разность между числами всегда меняется на $3$:

$$(A+2)-(B+1)=(A-B)-3.$$

Изначально эта разность равна

$$11-7=4$$ и не кратна трём, поэтому она никогда не станет равна нулю. Значит, сделать числа $50$ и $50$ не получится.

Поэтому сумма двух этих чисел будет не больше

$$49+50=99$$ и будет сделано не более

$$99-18=81$$ хода. Сделать столько ходов можно, например, так:

$$(7,11)\mapsto(9,10).$$ Затем $40$ раз повторить пару ходов

$$(x,x+1)\mapsto(x+2,x)\mapsto(x+1,x+2),$$ увеличивающую оба числа на $1$, если наибольшее не превосходило $49$.

Ответ: а) нет; б) $582$; в) $81$.

а) Построим подходящий пример: $$128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29.$$

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на $3$. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на $3$ не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа $128$.

Число $128$ даёт остаток $2$ при делении на $3$. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен $2$. Так как число $31$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, то из $128$ не могло получиться число $31$.

в) Наименьшее натуральное число — это $1$. Так как $1$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, а $128$ — остаток $2$, то из числа $128$ не могло получиться число $1$. Тогда наименьшее число, которое могло получиться из $128$, — это $2$.

Приведём два примера на число $2$: $$1)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{+24} 77 \xrightarrow{-42} 35 \xrightarrow{+24} 59$$ $$\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-42} 17 \xrightarrow{+24} 41 \xrightarrow{-15} 26 \xrightarrow{-24} 2.$$

$$2)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29 \xrightarrow{+33} 62 \xrightarrow{-24} 38$$ $$\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-33} 5 \xrightarrow{+15} 20 \xrightarrow{+6} 26 \xrightarrow{-24} 2.$$

Замечание.

В решении пункта а) достаточно привести один пример.

Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $2$.

Пусть исходные числа равны $10a_1+b_1$, $10a_2+b_2$, …, $10a_n+b_n$, и пусть суммы цифр, стоящих в разряде десятков и единиц, соответственно

$$A=a_1+\dots+a_n,\qquad B=b_1+\dots+b_n.$$

а) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=990 \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=360,\\ A-B=220 \end{cases} \iff \begin{cases} A=290,\\ B=70. \end{cases}$$

Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=594 \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=324,\\ A-B=264 \end{cases} \iff \begin{cases} A=294,\\ B=30. \end{cases}$$

Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.

Иначе: поскольку в записи нет нулей, а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения:

$$n \le B,\qquad A \le 9n,$$ то есть

$$\frac{A}{9}\le n \le B.$$ Что противоречит полученной системе, в которой $5A=49B$.

в) Требуется определить, для какого наименьшего $S$ имеет решения система уравнений $$\begin{cases} 10A+B=2970,\\ 10B+A=S \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=\dfrac{S+2970}{11},\\[6pt] A-B=\dfrac{2970-S}{9} \end{cases} \iff \begin{cases} A+B=\dfrac{S}{11}+270,\\[6pt] A-B=330-\dfrac{S}{9}. \end{cases}$$

Из полученной системы следует, что величина $S$ кратна 9 и 11, то есть кратна 99. Тогда $$S=99k,\quad k\in\mathbb{N}.$$ Тогда $$\begin{cases} A+B=9k+270,\\ A-B=330-11k \end{cases} \iff \begin{cases} A=300-k,\\ B=10k-30. \end{cases}$$

Наименьшему значению $S$ соответствует наименьшее значение $k$, причем из второго уравнения системы ясно, что $k>3$.

Улучшим оценку: заметим, что $n\le B$, $A\le 9n$, откуда $$\frac{A}{9}\le n\le B,$$ тогда $$\frac{300-k}{9}\le 10k-30 \iff 300-k\le 90k-270 \iff k\ge 6\frac{24}{91},$$ и, таким образом, $k\ge 7$.

Если $k=7$, то: $$A=293,\qquad B=40,$$ заданным набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в наборе равна $$99\cdot 7=693.$$

Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693.