Прочее

Пусть $k_1$ и $k_2$ – целые части от деления чисел $a$ и $b$ на число $c$ соответственно, а $m – $ одинаковый отстаток.

Тогда: $$a = c\cdot k_1 +m, \quad b = c\cdot k_2 +m$$ Откуда следует, что: $$a - b = c\cdot k_1 + m- c\cdot k_2 - m = c\cdot(k_1 - k_2) \Rightarrow c\cdot(k_1 - k_2)\vdots c$$ Что и требовалось доказать.

Разложим на множители исходное выражение: $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$$ Выходит, что исходное выражение представляет собой произведение трёх последовательных чисел (например при $n = 2, n - 1 = 1, n = 2, n + 1 = 3$).

Следовательно, при любом целом $n$, в произведении будут участвовать числа, которые делятся как на 2, так и на 3 $\Rightarrow$ всё число будет делиться на $6$, что и требовалось доказать.

Шаг 1. Через точки $U$ и $V$, которые принадлежат одной грани и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка $T$ лежит в плоскости основания, поэтому полезно найти точку прямой $UV$, которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую $CD$ и находим точку её пересечения с прямой $UV$-$W$.

1. Шаг 2. Проводим прямую $WT$, принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой и ребра $AD$ — $X$.
2. Шаг 3. Точка $V$ лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой $WT$, которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую $BC$, которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку её пересечения с прямой $WT$ — $Y$. Через две точки задней грани проводим прямую $YV$, и находим место пересечения этой прямой с ребром $BB_1$ — $Z$.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

1. Шаг 1. Точки $U$ и $T$ лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая $UT$ пересечет ребро $BB_1$ в точке $W$.

1. Шаг 2. Точки $T$ и $V$ также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра $B_1C$ — $X$.

1. Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку $U$ можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч $A_1D_1$ и найдем его пересечение с прямой $TV$ — ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения — точка $Y$. Точки $Y$ и $U$ можно соединить отрезком.

1. Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком $YU$ ребра $DD_1$ — точку $Z$.

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

1. Шаг 1. Точки $U$ и $T$ лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая $UT$ пересечет ребро $BB_1$ в точке $W$.

1. Шаг 2. Точки $T$ и $V$ также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра $B_1C$ — $X$.

1. Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку $U$ можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч $A_1D_1$ и найдем его пересечение с прямой $TV$ — ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения — точка $Y$. Точки $Y$ и $U$ можно соединить отрезком.

1. Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком $YU$ ребра $DD_1$ — точку $Z$.

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.