Последовательности и прогрессии

а) Пусть первый член последовательности равен $x$. Пусть второй член в $8$ раз больше первого, то есть равен $8x$, а третий в $8$ раз меньше второго, то есть равен $x$. По условию сумма всех членов равна $4040$, значит $$x + 8x + x = 4040.$$ Отсюда $$10x = 4040 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4040}{10} = 404.$$ Тогда последовательность имеет вид $$404,\; 3232,\; 404,$$ и удовлетворяет всем условиям задачи. Следовательно, последовательность из трёх членов возможна.

б) Рассмотрим пару соседних членов $a_1$ и $a_2$. Не умаляя общности, пусть $a_1 > a_2$. Тогда $a_1 = 8a_2$. Обозначим $a_2 = k$, тогда $$a_1 + a_2 = 8k + k = 9k,$$ то есть сумма любых двух соседних членов кратна $9$.

В последовательности из четырёх членов можно разбить все члены на две непересекающиеся пары соседних чисел, каждая из которых имеет сумму, кратную $9$. Следовательно, и сумма всех четырёх чисел кратна $9$.

Однако $$4040 \not\equiv 0 \pmod{9}.$$ Противоречие. Значит, последовательность из четырёх членов невозможна.

в) В пункте (б) было показано, что сумма любых двух соседних членов кратна $9$. Так как все члены последовательности — натуральные числа, то сумма двух соседних членов не меньше $9$.

Следовательно, количество таких пар не превосходит $$\frac{4040}{9} = 448\frac{8}{9}.$$ Так как число пар — целое, их не более $448$. Значит, количество членов последовательности не превосходит $$2 \cdot 448 + 1 = 897.$$

Покажем, что это значение достижимо. Рассмотрим последовательность вида $$a_1 = 8,\quad a_2 = 1,\quad a_3 = 8,\quad a_4 = 1,\quad \ldots$$ Всего $897$ членов. В этой последовательности $449$ восьмёрок и $448$ единиц. Сумма всех членов равна $$449 \cdot 8 + 448 \cdot 1 = 3592 + 448 = 4040.$$ Все условия задачи выполнены.

Следовательно, наибольшее возможное количество членов равно $897$.

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) Нет
• [в)]в) $897$

а) Построим подходящий пример: $$128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29.$$

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на $3$. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на $3$ не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа $128$.

Число $128$ даёт остаток $2$ при делении на $3$. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен $2$. Так как число $31$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, то из $128$ не могло получиться число $31$.

в) Наименьшее натуральное число — это $1$. Так как $1$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, а $128$ — остаток $2$, то из числа $128$ не могло получиться число $1$. Тогда наименьшее число, которое могло получиться из $128$, — это $2$.

Приведём два примера на число $2$: $$1)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{+24} 77 \xrightarrow{-42} 35 \xrightarrow{+24} 59$$ $$\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-42} 17 \xrightarrow{+24} 41 \xrightarrow{-15} 26 \xrightarrow{-24} 2.$$

$$2)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29 \xrightarrow{+33} 62 \xrightarrow{-24} 38$$ $$\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-33} 5 \xrightarrow{+15} 20 \xrightarrow{+6} 26 \xrightarrow{-24} 2.$$

Замечание.

В решении пункта а) достаточно привести один пример.

Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $2$.

а) Нет. $$S=\frac{2n_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что $S=13$, то $$(2n_1+d(n-1))\cdot n=26.$$ Заметим, что $26=13\cdot 2$, поскольку $n\ge 3$, $n=13$ или $n=26$. Но сумма $13$-ти различных натуральных чисел больше $13$.

б) Все данные $n$ чисел натуральные, поэтому наименьшее из них больше или равно $1$, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее чем на $1$), то их сумма $S$ не меньше суммы $$1+2+3+\ldots+n,$$ то есть $$S\ge \frac{n(n+1)}{2}.$$ Если известно, что $S<500$, то из неравенства $$\frac{n(n+1)}{2}\le S$$ следует, что $$\frac{n(n+1)}{2}<500,\qquad n(n+1)<1000,$$ откуда $n<32$ (при $n\ge 32$ имеем: $n(n+1)=32\cdot 33>1000$). При $n=31$ имеем: $$n(n+1)=31\cdot 32<1000,$$ натуральные числа от $1$ до $31$ (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно $31$, а сумма меньше $500$. Таким образом, наибольшее возможное значение $n$ в пункте б) равно $31$.

в) Пусть $a_1$ — наименьшее из данных $n$ чисел, образующих арифметическую прогрессию, $d$ — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих $n$ чисел равна $$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что сумма данных $n$ чисел равна $57$, то $$(2a_1+d(n-1))\cdot n=114.$$ Заметим, что $114=2\cdot 3\cdot 19$ и $n$ — один из делителей числа $114$.

Поскольку $n\ge 3$, то возможные значения $n=3,\,6,\,19,\,38,\,57$ и $114$. Исходя из неравенства $$n\cdot (n+1)\le 114,$$ получим, что $n\le 10$.

При $n=3$ получаем равенство $$a_1+d=19,$$ которое выполняется, например, при $a_1=1$, $d=18$. Прогрессия $1;\,19;\,37$ состоит из $3$ членов, сумма равна $57$.

При $n=6$ получаем равенство $$2a_1+5d=19,$$ которое выполняется при $a_1=2$, $d=3$. Прогрессия $2,\,5,\,8,\,11,\,14,\,17$ состоит из $6$ членов, сумма равна $57$.

Ответ: а) нет; б) $31$; в) $3,\,6$.