Последовательности и прогрессии

а) Да, может, например, $-6+(-4)+(-2)+0+2+4+6+8=8$.

б) $$\dfrac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n = 1$$ $$(2a_1+d(n-1))\cdot n = 2$$ Получили, что $n$ делитель 2, это противоречит условию $n\ge 3$.

в) Аналогично прошлому пункту можно показать, что $S=-1$ также не может быть. $$\dfrac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n = -1$$ $$(2a_1+d(n-1))\cdot n = -2$$ Равняться нулю $S$ может, например, $-1, 0, 1$. Любые другие значения, кроме $-1$ и $1$, $S$ принимать может.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) Любые целые значения, кроме $-1$ и $1$.

а) Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — делитель. Получим $$b \cdot bq \cdot bq^2\cdot bq^3 \cdot bq^4=b^5q^{10} = 1512=2^3\cdot3^3\cdot7$$ 1512 не является корнем 5-ой степени, значит такого быть не может.

б) $$b\cdot bq \cdot bq^2\cdot bq^3 \cdot x=1512$$ $$b^4 \cdot q^6 \cdot x = 2^3\cdot3^3\cdot7$$ Так как слева четвертая степень есть, а справа максимальная степень — 3, то при целых $q$ такого быть не может. Если $q= \dfrac{m}{n};\; m, n \in \mathbb N$. Тогда $bq^3\in \mathbb N \Rightarrow b\; кратно \;n^3$. Значит, $b^4\; кратно \; n^{12} \Rightarrow b^4q^6\cdot x \; кратно \; n^6$. Это невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

в) $$b\cdot bq \cdot bq^2\cdot x \cdot y=1512$$ $$b^3xy=2^3\cdot3^3\cdot7$$ Пусть $b=6, x=7, y=1$. И пусть $q=2$. Тогда получим: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) Да.

Упорядочим числа по возрастанию: $$a_1 < a_2 < \dots < a_{60}.$$

Сумма любых двух чисел из набора не меньше, чем сумма двух самых маленьких, то есть $$a_1 + a_2 \le a_i + a_j,$$ где $1 \le i,j \le 60$.

Сумма любых шести чисел из набора не больше, чем сумма шести самых больших, то есть $$a_k + a_l + a_m + a_n + a_o + a_p \le a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60},$$ где $1 \le k,l,m,n,o,p \le 60$.

При этом между парой чисел $a_1, a_2$ и шестёркой чисел $a_{55}, a_{56}, a_{57}, a_{58}, a_{59}, a_{60}$ это неравенство тоже выполняется: $$a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2.$$

Возьмём любую шестёрку чисел $a_k, a_l, a_m, a_n, a_o, a_p$. Сумма в ней меньше, чем сумма любых двух чисел $a_i, a_j$. Получаем цепочку неравенств: $$a_k + a_l + a_m + a_n + a_o + a_p \le a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2 \le a_i + a_j.$$

То есть достаточно проверить, что выполняется неравенство между парой самых маленьких чисел и шестёркой самых больших, тогда для любых других пар и шестёрок чисел неравенство будет выполнено.

a) Возьмём числа $$-458,\,-457,\,-456,\,\dots,\,-401,\,-400,\,400.$$ Сумма двух самых маленьких чисел: $$-458 + (-457) = -915.$$ Сумма шести самых больших чисел: $$-404 + (-403) + (-402) + (-401) + (-400) + 400 = -1610,$$ причём $-1610 < -915$. Следовательно, этот набор чисел подходит.

б) Подходит набор чисел из пункта (a).

в) Пусть набор чисел $$a_1 < a_2 < \dots < a_{59} < a_{60}$$ удовлетворяет условию.

Рассмотрим новый набор чисел, в котором последние шесть чисел останутся такими же, а все числа $a_i$, начиная с $a_{54}$, будут последовательно заменены на $a_{i+1}-1$. То есть сначала заменим $a_{54}$ на $a_{55}-1$, затем $a_{53}$ на $a_{54}-1$ и так далее. Получим новый набор: $$a_{55}-54,\ a_{55}-53,\ \dots,\ a_{55}-1,\ a_{55},\ a_{56},\ a_{57},\ a_{58},\ a_{59},\ a_{60}.$$

Обозначим этот набор за $b_i$. Каждое число $b_i \ge a_i$, поэтому $$b_1 + b_2 \ge a_1 + a_2,$$ а числа $b_{55},\dots,b_{60}$ совпадают с $a_{55},\dots,a_{60}$, значит $$b_{55} + b_{56} + b_{57} + b_{58} + b_{59} + b_{60} = a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2 \le b_1 + b_2.$$

Следовательно, набор $b_i$ удовлетворяет условию: в нём сумма любой пары чисел больше, чем сумма любой шестёрки чисел.

При этом $$b_1 + b_2 = (a_{55}-54) + (a_{55}-53) = 2a_{55}-107 > a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60}.$$ Отсюда $$a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_{55}-107.$$

Так как $a_{56},\dots,a_{60}$ — пять различных целых чисел, больших $a_{55}$, то $$(a_{55}+1)+(a_{55}+2)+(a_{55}+3)+(a_{55}+4)+(a_{55}+5) = 5a_{55}+15 \le a_{56}+a_{57}+a_{58}+a_{59}+a_{60}.$$

Тогда $$5a_{55}+15 < a_{55}-107 \quad\Rightarrow\quad 4a_{55} < -122 \quad\Rightarrow\quad a_{55} < -31.$$

Увеличим $a_{55}$ до $-31$, а числа $a_1,\dots,a_{54}$ последовательно увеличим до $$-85,\,-84,\,\dots,\,-32.$$ Получим набор: $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\ a_{56},\ a_{57},\ a_{58},\ a_{59},\ a_{60}.$$

Сумма двух самых маленьких чисел равна $$-85 + (-84) = -169.$$ Из условия получаем $$-31 + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < -169,$$ то есть $$a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} \le -139.$$

Наибольшая сумма достигается либо в наборе $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\,-30,\,-29,\,-28,\,-27,\,-26,$$ либо в наборе $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\,-30,\,-29,\,-28,\,-27,\,-25.$$

Во втором случае сумма шести самых больших чисел равна $$-31-30-29-28-27-25 = -170,$$ а сумма двух самых маленьких равна $-169$, и $-170 < -169$, значит условие выполнено.

Сумма всех $55$ чисел $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31$$ равна $$\frac{(-85 + (-31))\cdot 55}{2} = -3190.$$ Сумма последних пяти чисел равна $-139$, поэтому наибольшая сумма такого набора равна $$-3190 + (-139) = -3329.$$

Ответ: $$\text{a) Да,\quad б) Да,\quad в) } -3329.$$

а) Распишем последовательность чисел в порядке возрастания: $$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < \dots < a_{49} < a_{50}.$$

По условию сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора. Рассмотрим крайний случай, так как если он возможен, то условие выполняется и для всех остальных чисел: $$a_1 + a_2 + a_3 > a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50}.$$

Пусть наш набор чисел начинается с $-300$: $$-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -256,\ -255,\ -254,\ -253,\ -252,\ -251.$$

Получаем: $$a_1 + a_2 + a_3 = -300 + (-299) + (-298) = -897,$$ $$a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50} = -255 + (-254) + (-253) + (-252) + (-251) =$$ $$= \left( \frac{-255 + (-251)}{2} \right) \cdot 5 = \left( \frac{-506}{2} \right) \cdot 5 = -253 \cdot 5 = -1265.$$

Проверим: $$-897 > -1265,$$ условие выполняется.

Ответ: Да, может: $-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -255,\ -254,\ -253,\ -252,\ -251$.

б) Рассмотрим последовательность чисел начиная с $-1000$ (так как необходимо, чтобы правая часть была меньше левой — более отрицательная), и последнее число в последовательности равно $300$: $$-1000,\ -999,\ -998,\ \ldots,\ -956,\ -955,\ -954,\ -953,\ -952,\ -951,\ \ldots,\ 300.$$

Пусть: $$a_1 = -1000,\quad a_2 = -999,\quad a_3 = -998,$$ $$a_{46} = -955,\quad a_{47} = -954,\quad a_{48} = -953,\quad a_{49} = -952,\quad a_{50} = 300.$$

Сумма трёх наименьших: $$a_1 + a_2 + a_3 = -1000 -999 -998 = -2997,$$ Сумма пяти наибольших: $$a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50} = -955 -954 -953 -952 + 300.$$

Посчитаем: $$-955 -954 -953 -952 = -3814, \quad \Rightarrow\quad -3814 + 300 = -3514.$$

$$-2997 > -3514,$$ значит условие выполняется.

Ответ: Да, может: $-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -253,\ -252,\ -251$.

в) Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы было некоторое количество отрицательных чисел, поэтому нужно максимизировать сумму, подбирая числа так, чтобы ограничение ещё выполнялось. А сумма будет наибольшей, когда числа находятся в арифметической прогрессии с наименьшим шагом, то есть последовательные числа, находящиеся максимально близко друг к другу.

Запишем последовательность в общем виде: $$a_1,\ a_1 + 1,\ a_1 + 2,\ a_1 + 3,\ a_1 + 4,\ \ldots,\ a_1 + 48,\ a_1 + 49.$$

Получаем: $$a_1 + a_1 + 1 + a_1 + 2 > a_1 + 45 + a_1 + 46 + a_1 + 47 + a_1 + 48 + a_1 + 49,$$ $$3a_1 + 3 > 5a_1 + 235,$$ $$-2a_1 > 232 \quad \Rightarrow \quad a_1 < -116.$$

Так как $a_1$ — целое, максимальное значение: $a_1 = -117$.

Рассмотрим последовательность чисел начиная с $a_1 = -117$: $$-117,\ -116,\ -115,\ -114,\ \ldots,\ -69,\ -68.$$

Проверим условие: $$-117 + (-116) + (-115) = -348,$$ $$a_{46} = -72,\ a_{47} = -71,\ a_{48} = -70,\ a_{49} = -69,\ a_{50} = -68.$$ $$\text{Сумма пяти: } \left( \frac{-72 + (-68)}{2} \right) \cdot 5 = (-70) \cdot 5 = -350.$$

$$-348 > -350,$$ условие выполнено.

Теперь найдём сумму всех 50 чисел: $$\frac{-117 + (-68)}{2} \cdot 50 = \frac{-185}{2} \cdot 50 = -4625.$$

Но если изменить последнее значение с $-68$ на $-67$, получим: $$-117,\ -116,\ \ldots,\ -69,\ -67,$$

Сумма трёх наименьших: $$-117 -116 -115 = -348,$$ Сумма пяти наибольших: $$-71 -70 -69 -68 -67 = -345.$$

$$-348 > -345 \quad \text{– неверно}.$$

Значит, больше увеличить сумму нельзя. Проверим сумму: $$\frac{-117 + (-69)}{2} \cdot 49 + (-67) = -93 \cdot 49 + (-67) = -4557 - 67 = -4624.$$

Ответ: Наибольшая сумма чисел данного набора равна $-4624$.

а) Пусть первый член последовательности равен $x$, второй в 7 раз больше первого, то есть равен $7x$, третий в 7 раз больше второго, то есть равен $49x$. По условию сумма всех членов последовательности равна 9177, то есть $$x + 7x + 49x = 9177 \Rightarrow x = \frac{9177}{57} = 161.$$

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел $$161,\; 161 \cdot 7 = 1127,\; 1127 \cdot 7 = 7889.$$

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

б) Пусть первый член последовательности равен $7x$, второй — $x$, третий — $7x$, четвёртый — $x$, пятый — $7x$. По условию имеем: $$7x + x + 7x + x + 7x = 9177 \Rightarrow x = \frac{9177}{23} = 399.$$

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел $$7 \cdot 399 = 2793,\; 399,\; 2793,\; 399,\; 2793.$$

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

в) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре — первое и второе число, во второй паре — третье и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно $x$. Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно $7x$. Сумма чисел в паре равна $8x$. Так как числа натуральные, то $x \ge 1$. Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше чем $8 \cdot 1 = 8$.

Так как сумма всех чисел равна 9177, то пар не больше чем $$\frac{9177}{8} = 1147\frac{1}{8}.$$

Тогда всего чисел в последовательности не больше чем $$1147 \cdot 2 + 1 = 2295.$$

Приведём пример на 2295 чисел. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 1, каждый чётный член последовательности равен 7: $$1,\; 7,\; 1,\; 7,\; \ldots,\; 1.$$

Тогда сумма всех чисел равна $$1 \cdot 1148 + 7 \cdot 1147 = 1148 + 8029 = 9177.$$

Ответ:

• [а)]а) Да
• [б)]б) Да
• [в)]в) 2295