Прочее

Нужно найти два числа, сумма которых 2, а произведение $-15$.

Это числа 5 и $-3$.

Ответ: $x_1 = 5,\; x_2 = -3$

Нужно найти два числа, сумма которых $-5$, а произведение 6.

Это числа $-2$ и $-3$.

Ответ: $x_1 = -2,\; x_2 = -3$

Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$$

Уравнение не имеет действительных корней, когда

$$D < 0$$

$$16 - 4a < 0$$

$$16 < 4a$$

$$a > 4$$

Ответ: при $a > 4$.

Так как один из корней равен 2, подставим $x = 2$:

$$2^2 - (a + 1)\cdot 2 + a = 0$$

$$4 - 2a - 2 + a = 0$$

$$2 - a = 0$$

$$a = 2$$

Проверим:

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x - 1)(x - 2) = 0$$

Корни: 1 и 2.

Ответ: $a = 2$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = a + 3$$

$$x_1x_2 = 2a$$

Чтобы оба корня были положительными, нужно:

• $x_1x_2 > 0$
• $x_1 + x_2 > 0$

Получаем:

$$2a > 0 \Rightarrow a > 0$$

$$a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$$

Остаётся пересечение условий:

$$a > 0$$

Проверим, что корни действительно существуют:

$$D = (a + 3)^2 - 8a = a^2 - 2a + 9 = (a - 1)^2 + 8 > 0$$

Значит, при $a > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня, и оба положительны.

Ответ: $a > 0$.