Тип 15 № 20262
На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?
Решение:
Да, вот в таком же виде, ничего не изменяя: а) Если сумма равна 107, то возможные по условию задачи слагаемые не могут быть больше 99, то есть варианты следующие:
Теперь нужно попробовать составить пример из приведённых выше вариантов, причём использовать каждое число можно максимум один раз. Методом проб и ошибок находим один из примеров
Значит, сумму 107 получить можно.
б) Если сумма равна 289, то варианты слагаемых следующие:
При этом использование больших чисел даст сумму больше нужной. Заметим, что если участвуют все числа из списка, то сумма получится больше чем 289 :
Чтобы получить 289, нужно не использовать некоторые слагаемые так, чтобы их сумма была равна 10. Но сумму 10 из различных чисел 4, 9, 44, 49, 94, 99 составить нельзя. При этом если не использовать какие-то слагаемые, то сумма будет ещё меньше. Значит, сумму 289 получить нельзя.
в) Если сумма равна 3986, то варианты слагаемых следующие:
При этом использование больших чисел даст сумму больше нужной. Заметим, что все числа на доске имеют остаток 4 при делении на 5. Значит, остаток при делении на 5 суммы всех чисел на доске равен остатку числа при делении на 5, где — количество чисел на доске. Число 3986 дает остаток 1 при делении на 5. Тогда количество слагаемых должно иметь вид , так как только так число дает остаток 1 при делении на 5. Четырёх слагаемых недостаточно, так как сумма четырёх наибольших возможных чисел равна
А вот 9 слагаемых уже добиться возможно:
Значит, наименьшее количество чисел на доске равно 9.
Ответ:
а) Да
б) Нет
в) 9
