Прочее

а) Пусть $G𝑂$ - высота пирамиды $GABCDEF$. Пусть $K$ - точка пересечения $AD$ и $EH$. Треугольники $𝑂EK$ и $KDH$ подобны, так как $𝑂E \| HD$ (по свойству правильного шестиугольника). Следовательно, $\frac{OK}{KD} =\frac{OE}{HD} =\frac{4}{3}$. Однако, $\frac{GI}{ID} =\frac{4}{3} =\frac{OK}{KD}$. Тогда треугольники $𝑂GD$ и $KID$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему $\angle{ODG}$, а прямые $𝑂G$ и $KI$ параллельны (по обратной теореме Фалеса), следовательно, прямая $KI$ перпендикулярна плоскости $BCD$. Таким образом, плоскость $HIE$ перпендикулярна плоскости основания (так как $KI$ лежит в $(HIE))$.

б) Объем пирамиды $DEIH$ будем искать как $\frac{1}{3} KH\cdot S_{HDE},KH=\frac{3}{7} \cdot GO, GO$ найдем из треугольника $GOD$ по теореме Пифагора $\Rightarrow GO=\sqrt{33} ,IK=\frac{3}{7}\sqrt{33}$ $$S_{DEH} =\frac{1}{2} DE\cdot DH\cdot \sin 120^{\circ } =3\sqrt{3}$$ Тогда:

$$V=\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{3}{7}\sqrt{33} =\frac{9\sqrt{11}}{7}$$ Ответ: $\frac{9\sqrt{11}}{7}$.

$$(*) 4 - x > 0 \Leftrightarrow x < 4$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{3^5}(4 - x) \leq \log_3(x - 4)^2$$ $$\frac{x^2}{5}\log_{3}(4 - x) \leq 2\log_3|x - 4|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $4 - x$: $$\frac{x^2}{10}\log_{3}(4 - x) \leq \log_3(4 - x) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{10} - 1\right)\log_{3}(4 - x) \leq 0$$ $$(x^2 - 10)\log_{3}(4 - x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10})\log_{3}(4 - x) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{10}; \log_34-x = 0 \Leftrightarrow x = 3$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in[-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)$

Ответ: $x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)$

а) Проведём в точке C общую касательную к окружностям, и отметим на ней точку K так, как показано на картинке. Прямая CK — касательная к большей окружности, поэтому угол ACK между касательной и хордой AC большей окружности равен углу AEC, который опирается на эту хорду. Прямая CK является касательной и к меньшей окружности, поэтому $∠DCK = ∠DBC$ по аналогичным причинам. Тогда

$∠AEC = ∠ACK =∠DCK = ∠DBC$

Углы $AEC$ и $DBC$ — соответственные углы, образованные прямыми $AE$ и $DB$ и секущей $EB$. Они равны, поэтому $AE \parallel DB$.

б) Из пункта а) нам известно, что $\angle AEC = \angle DBC$, кроме того, $\angle ACE = \angle DCB = 90^\circ$. Значит, прямоугольные треугольники $ECA$ и $BCD$ подобны по двум углам. Тогда

$$\frac{BC}{CE} = \frac{BD}{AE} = \frac{CD}{AC}$$

Заметим, что прямой угол $BCD$ вписан в меньшую окружность и опирается на хорду $BD$. Значит, $BD$ — диаметр меньшей окружности. Аналогично $AE$ — диаметр большей окружности. Тогда $BD = 2 \cdot 8 = 16$ и $AE = 2 \cdot 15 = 30$.

Нам нужно найти длину $AC$. Этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника $AEC$. Тогда по теореме Пифагора имеем:

$$AE^2 = CE^2 + AC^2$$

$$30^2 = CE^2 + AC^2$$

По условию $ABC$ равнобедренный, поэтому $AC = BC$. Тогда

$$\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{CE} = \frac{BD}{AE} = \frac{8}{15}$$

$$CE = \frac{15 \cdot AC}{8}$$

$$CE^2 = \frac{225 \cdot AC^2}{64}$$

Тогда получаем уравнение на $AC$:

$$30^2 = CE^2 + AC^2 = AC^2 + \frac{225 \cdot AC^2}{64} =$$

$$= AC^2 \cdot \left(1 + \frac{225}{64}\right) = AC^2 \cdot \frac{289}{64}$$

Значит,

$$AC^2 = \frac{30^2 \cdot 8^2}{17^2}$$

$$AC = \frac{240}{17}$$

Ответ:

б) $\frac{240}{17}$

Долг взят в июле 2020 года, то есть в этот год не происходит начисление процентов и выплаты по кредиту не производятся.

Кредит выплачен тремя равными платежами, тогда обозначим сумму выплаты за каждый год за $S_1$.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» будет равно разности соответствующих значений по столбцам «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

По условию кредит погашен за 3 года, то есть сумма долга после выплаты за 2023 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$$1,3 \cdot (1,3 \cdot (1,3S - S_1) - S_1) - S_1 = 0$$

$$1,3^3 \cdot S - 1,3^2 \cdot S_1 - 1,3 \cdot S_1 - S_1 = 0$$

Отсюда выразим $S$ :

$$S = S_1 \cdot \frac{1 + 1,3 + 1,3^2}{1,3^3} = S_1 \cdot \frac{2,3 + 1,69}{2,197} = S_1 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

Из условия общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита, то есть

$$S_1 + S_1 + S_1 = S + 78030$$

$$S_1 = \frac{S}{3} + \frac{78030}{3} \Leftrightarrow S_1 = \frac{S}{3} + 26010$$

Подставим $S_1$ в выражение для суммы кредита:

$$S = \left(\frac{S}{3} + 26010\right)\cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S - \frac{S}{3} \cdot \frac{3,99}{2,197} = 26010 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \left(1 - \frac{1,33}{2,197}\right) = 26010 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \frac{2,197 - 1,33}{2,197} = \frac{26010 \cdot 3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \frac{0,867}{2,197} = \frac{26010 \cdot 3,99}{2,197}$$

$$S = \frac{26010 \cdot 3,99}{0,867} = 30000 \cdot 3,99 = 119700$$

Таким образом, сумма кредита составит 119 700 рублей.

Ответ: 119 700 рублей

Преобразуем исходное уравнение:

$$\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} 9x^2-a^2=0 \\ x^2+8x+16-a^2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=9x^2 \\ a^2 \ne (x+4)^2 \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0; a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что, если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения для параметра $a$, при каждом из которых ровно две точки вида $(x_0; a_0)$, где $x_0 \in \mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображенному на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений первого уравнения, затем найдем точки, удовлетворяющие условию $a^2=(x+4)^2$, и исключим их.

• Преобразуем первое уравнение: $$a^2=9x^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=3x \\ a=-3x \end{aligned} \right.$$ Значит, множество решений первого уравнения системы состоит из точек двух прямых $f_1(x)=3x$ и $f_2(x)=-3x$.
• Второе условие $a^2 \ne (x+4)^2$ системы задает всю плоскость, кроме точек, которые удовлетворяют условию $a^2=(x+4)^2$. Преобразуем данное уравнение: $$a^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=x+4 \\ a=-x-4 \end{aligned} \right.$$ Значит, уравнение $a^2=(x+4)^2$ задает две функции $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$ в плоскости $xOa$, графиками которых являются прямые. Тогда второе условие системы задает всю плоскость, кроме точек двух прямых $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$.

Чтобы построить графики, нам нужно найти точки пересечения указанных выше прямых.

• Если $f_1(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $A=(x_1; a_1)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_1=3x_1 \\ a_1=x_1+4 \end{cases} \Rightarrow 3x_1=x_1+4$$ $$2x_1=4 \Leftrightarrow x_1=2 \Rightarrow a_1=6$$
• Если $f_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $B=(x_2; a_2)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_2=3x_2 \\ a_2=-x_2-4 \end{cases} \Rightarrow 3x_2=-x_2-4$$ $$4x_2=-4 \Leftrightarrow x_2=-1 \Rightarrow a_2=-3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $C=(x_3; a_3)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_3=-3x_3 \\ a_3=x_3+4 \end{cases} \Rightarrow -3x_3=x_3+4$$ $$-4x_3=4 \Leftrightarrow x_3=-1 \Rightarrow a_3=3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $D=(x_4; a_4)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_4=-3x_4 \\ a_4=-x_4-4 \end{cases} \Rightarrow -3x_4=-x_4-4$$ $$-2x_4=-4 \Leftrightarrow x_4=2 \Rightarrow a_4=-6$$
• Если $f_1(x)$ и $f_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $O=(x_5; a_5)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_5=3x_5 \\ a_5=-3x_5 \end{cases} \Rightarrow 3x_5=-3x_5$$ $$x_5=0 \Rightarrow a_5=0$$
• Если $g_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $S=(x_6; a_6)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_6=x_6+4 \\ a_6=-x_6-4 \end{cases} \Rightarrow x_6+4=-x_6-4$$ $$2x_6=-8 \Leftrightarrow x_6=-4 \Rightarrow a_6=0$$

Теперь можем построить графики:

Заметим, что горизонтальные прямые $a=6$, $a=3$, $a=0$, $a=-3$ и $a=-6$ имеют ровно одну точку пересечения с $S$. Все остальные горизонтальные прямые имеют ровно две точки пересечения с $S$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения при

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$

Ответ:

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$