Прочее

Выполним преобразования:

$$36\sqrt{6}\,\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} = 36\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 36.$$

Найдём, при каком ускорении автомобиль приобретает скорость $80$ км/ч. Задача сводится к решению уравнения

$$v=\sqrt{2la}$$ при заданном значении расстояния $l_0=0{,}5$ км:

$$\sqrt{2\cdot 0{,}5a}=80 \Leftrightarrow a=6400.$$

Пусть $u$ км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна $15+u$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $15-u$ км/ч. На весь путь теплоход затратил $40-10=30$ часов, отсюда имеем:

$$\frac{200}{15-u}+\frac{200}{15+u}=30 \Leftrightarrow \frac{200\cdot 15\cdot 2}{225-u^2}=30 \Leftrightarrow \frac{200}{225-u^2}=1,\quad 0<u<15 \Leftrightarrow 200=225-u^2 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow u^2=25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u=5;\\ u=-5 \end{array} \right. \quad u>0 \Leftrightarrow u=5.$$

Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3-x)e^{3-x}\right)' = -e^{3-x} + (3-x)(-e^{3-x}) = -e^{3 - x}(1 + 3 - x)= e^{3-x}(x - 4)$$

2. Найдём нули производной: $$(x-4)e^{3-x} = 0 \Rightarrow x=4$$ (так как $e^{3-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

а) Воспользуемся формулами приведения и формулой косинуса двойного угла: $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$ $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$

Тогда получим $$1-2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$ $$2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x=0$$ $$\sin^2 x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=0$$ $$\sin x\left(\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$$

$$\left[ \begin{aligned} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right.$$

$$\left[ \begin{aligned} x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.$$

б) Отберем корни с помощью неравенств с учетом $k\in\mathbb{Z}$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq k\leq 4$$

Отсюда получаем $k=3,\ x=3\pi$ и $k=4,\ x=4\pi$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+2\pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq \frac{1}{4}+2k\leq 4$$ $$\frac{9}{8}\leq k\leq \frac{15}{8}$$

Отсюда получаем $k\in\varnothing$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq \frac{3}{4}+2k\leq 4$$ $$\frac{7}{8}\leq k\leq \frac{13}{8}$$

Отсюда получаем $k=1,\ x=\frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $$\text{а) } \pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$ $$\text{б) } \frac{11\pi}{4};\ 3\pi;\ 4\pi$$