Шар

1. Отношение объемов: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = 27$$ $$\frac{R_1}{R_2} = 3$$

2. Отношение площадей поверхностей: $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = 3^2 = 9$$

1. Объемы шаров: $$V_1 = \frac{4}{3}\pi 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216$$ $$V_2 = \frac{4}{3}\pi 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 512$$ $$V_3 = \frac{4}{3}\pi 10^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000$$

2. Сумма объемов: $$V_{\text{сум}} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi(216 + 512 + 1000) = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$$

3. Найдем радиус шара с таким объемом: $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$$ $$R^3 = 1728$$ $$R = 12$$

1. Исходный объем: $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

2. Новый объем при увеличении радиуса в 3 раза: $$V' = \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27r^3 = 27V$$

$$\text{Площади поверхностей шаров относятся как квадраты их радиусов, поэтому:}$$

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{R_2^2}{R_1^2}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2=64.$$

$$\text{Ответ: }64.$$