Свойства четных/нечетных и монотонных функций

Так как композиция двух функций одинакового характера монотонности является возрастающей функцией, то $f_1(x)=\sqrt{x-a}$ и $f_2(x)=\sqrt{x^{3}+1}$ — возрастающие функции. Сумма двух возрастающих функций $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ — возрастающая функция, следовательно, $f(x)$ возрастает на всей области определения: $$\begin{cases} x>a,\\ x\ge -1 \end{cases}$$ Тогда уравнение $f(x)=const$ имеет не более одного решения.

1. Пусть $a\le -1$, тогда областью определения являются $x\ge -1$. Тогда $f(x)>f(-1)$. Следовательно, $x_0$ — решение исходного уравнения, если $f(x_0)= 2$ и $f(-1)$: $$\begin{cases} 2\ge \sqrt{1-a}\\ a\le -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 0\le -1-a\le 4\\ a\le -1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -5\le a\le -1 \end{cases}$$ Наименьшее $a$ среди найденных равно $a=-5$.

2. Пусть $a>-1$, тогда областью значений являются $x\ge a$. Тогда $f(x)>f(a)$. Следовательно, $x_0$ — решение исходного уравнения, если $f(x_0)=2 \ge f(a)$: $$\begin{cases} 2\ge \sqrt{a^3 +1}\\ a>-1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 0\le a^3+1\le 4\\ a>-1 \end{cases} \Longleftrightarrow -1<a\le \sqrt[3]{3}$$ Наибольшее $a$ среди найденных равно $a=\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $$a\in[-5;\sqrt[3]{3}]$$

Преобразуем уравнение $$x^{6}+3x^{2}=(8x-5a)^{3}+3(8x-5a).$$

Рассмотрим функцию $f(t)=t^{3}+3t$.

Запишем наше уравнение в виде: $f(x^{2})=f(8x-5a)$.

Функция $f(t)=t^{3}+3t$ непрерывна и нечетная. Ее производная $f(t)=3t^{2}+3$ всегда положительна, значит, $f(t)$ монотонно возрастает, и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Поэтому уравнение $f(x^{2})=f(8x-5a)$ равносильно уравнению $x^{2}=8x-5a$. Это квадратное уравнение.

Соберем все его слагаемые в левую часть. Уравнение $x^{2}-8x+5a=0$ не имеет корней, когда его дискриминант отрицателен, $64-20a<0$, а $a>\dfrac{16}{5}$.

Ответ: $a>\dfrac{16}{5}$.