Свойства четных/нечетных и монотонных функций

Из первого уравнения системы получаем $$3^{\ln y}=27^{|x|}\Leftrightarrow y=e^{3|x|}.$$

Заметим, что если пара $(x;y)$ — решение системы, то пара $(-x;y)$ — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, этим решением может быть только пара $(0;y)$. Таким образом, $x=0$ и из второго уравнения получаем: $$\log_3 3=\log_3(a^2+1)\Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow \begin{cases} a=1,\\ a=-1. \end{cases}$$

Проверим, действительно ли система при найденных значениях $a$ имеет единственное решение.

1. Если $a=-1$, то второе уравнение системы имеет единственное решение: $$\log_3(-x^2y^2+3)=\log_3(1+x^4y^2)+1 \Leftrightarrow -x^2y^2+3=3+3x^4y^2 \Leftrightarrow y^2(3x^4+x^2)=0 \overset{y>0}{\Leftrightarrow} x=0.$$

Тогда $y=e^0=1$, а значит, пара $(0;1)$ является единственным решением системы.

1. Если $a=1$, то второе уравнение системы имеет три решения: $$\log_3(x^2y^2+3)=\log_3(1+x^4y^2)+1 \Leftrightarrow x^2y^2+3=3+3x^4y^2$$ $$\Leftrightarrow y^2(3x^4-x^2)=0 \overset{y>0}{\Leftrightarrow} x^2(3x^2-1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0,\\ x=\dfrac{1}{\sqrt3},\\ x=-\dfrac{1}{\sqrt3}. \end{cases}$$

Каждому из найденных значений $x$ соответствует значение $y=e^{3|x|}$, а потому система имеет три решения.

Ответ: система имеет единственное решение $(0;1)$ при $a=-1$.

Запишем уравнение в виде $$x^2+(a-1)^2=|x+a-1|+|x-a+1|.$$

Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $-x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0=-x_0$, то есть $x_0=0$. Подставим значение $x=0$ в уравнение: $$(1-a)^2=2|1-a| \Leftrightarrow |1-a|\cdot(|1-a|-2)=0,$$ откуда либо $|1-a|=0 \Leftrightarrow a=1$, либо $|1-a|=2 \Leftrightarrow a=-1$ или $a=3$.

При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2=2|x|$. Корнями этого уравнения являются числа $-2$, $0$ и $2$, то есть уравнение имеет ровно три корня.

При $a=-1$ и при $a=3$ уравнение принимает вид $$x^2+4=|x-2|+|x+2|.$$

При $x<-2$ это уравнение сводится к уравнению $$x^2+2x+4=0,$$ которое не имеет корней.

При $-2\leq x\leq 2$ получаем уравнение $$x^2=0,$$ которое имеет единственный корень.

При $x>2$ получаем уравнение $$x^2-2x+4=0,$$ которое не имеет корней.

Таким образом, при $a=-1$ и при $a=3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a=-1$ и $a=3$.

Заметим, что уравнение можно преобразовать в $$(4x^2)^3+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a).$$

Если принять $4x^2=t$, $3x+a=z$, то уравнение равносильно $f(t)=f(z)$, где $f(p)=p^3+p$ — строго возрастающая (а значит, строго монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции $f(p)$ равенство $f(t)=f(z)$ равносильно равенству $t=z$, следовательно, получаем $$4x^2=3x+a \iff 4x^2-3x-a=0.$$

Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный: $$D=9+16a<0 \iff a<-\frac{9}{16}.$$

Ответ: $$a\in\left(-\infty;\,-\frac{9}{16}\right).$$

Заметим, что $$-\frac{10x-2x^2-a}{3}-(2x+a)=\frac{2}{3}(x^2-8x-a).$$

Следовательно, если $$-\frac{10x-2x^2-a}{3}=t,\qquad 2x+a=y,$$ то $$t-y=\frac{2}{3}(x^2-8x-a),$$ откуда $$x^2-8x-a=\frac{3}{2}(t-y),$$ и уравнение примет вид $$\cos(-t)-\cos y=\frac{3}{2}(t-y) \iff \cos t-\frac{3}{2}t=\cos y-\frac{3}{2}y.$$

Функция $$f(x)=\cos x-\frac{3}{2}x$$ имеет производную $$f'(x)=-\sin x-\frac{3}{2}\le -\frac{1}{2}<0,$$ следовательно, $f(x)$ является монотонно убывающей. Для таких функций равенство $f(t)=f(y)$ равносильно равенству $t=y$. Следовательно, $$t=y \iff x^2-8x-a=0 \iff (x-4)^2=16+a.$$

Единственное решение при $a=-16$.

Ответ: $$a\in\{-16\}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=3\sqrt[5]{6,2x-5,2}+4\log_{5}(4x+1)+5a.$$ Она определена при $x>- \frac{1}{4}$, возрастает на области определения и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Значит, уравнение $f(x)=0$ имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку $[1;6]$ тогда и только тогда, когда $f(1)\le 0$ и $f(6)\ge 0$. Получаем систему неравенств: $$\begin{cases} 3+4+5a\le 0,\\ 6+8+5a\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5a+7\le 0,\\ 5a+14\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{14}{5}\le a\le \frac{7}{5}.$$

Ответ: $$a\in\left[-\frac{14}{5};-\frac{7}{5}\right].$$