Точки пересечения графиков

1. Найдём уравнение красной прямой: $$k = \frac{4}{1} = 4$$ $$f(-2) = 1 \Rightarrow 4 \cdot (-2) + b = 1 \Rightarrow b = 9$$ $$y = 4x + 9$$

2. Найдём уравнение синей прямой: $$k = \frac{3}{2} = 1,\!5$$ $$f(3) = 1 \Rightarrow 1,\!5 \cdot 3 + b = 1 \Rightarrow b = -3,\!5$$ $$y = 1,\!5x - 3,\!5$$

3. Найдём точку пересечения: $$4x + 9 = 1,\!5x - 3,\!5$$ $$2,\!5x = -12,\!5$$ $$x = -5$$

Ответ -5

Из графика нам известно три точки, которые пересекает парабола: $(3, 4), (1, 2), (2, 2)$. Подставим соответствующие значения и найдём коэффициенты с помощью системы:

$$\begin{cases} a\cdot(3)^2 + b\cdot3 + c = 4\\ a\cdot(1)^2 + b + c = 2 \\ a\cdot(2)^2 + 2b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 2 \end{cases}$$ Вычтем из третьего уравнение системы второе уравнение: $$\begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a + b + c = 2 \\ 3a + b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ a -3a + c = 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9a + 3b + c = 4\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases}$$ Подставим коэффициенты $b$ и $c$ в первое уравнение и найдём $a$: $$\begin{cases} 9a -9a + 2a + 2 = 4\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ c = 2a + 2 \\ b = -3a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ c = 4 \\ b = -3 \end{cases}$$

Запишем $g(x)$: $$g(x) = x^2 -3x + 4$$

Найдём вторую точку пересечения графиков: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 3x + 4 = -3x + 13 \Leftrightarrow x^2 - 9 = 0 \Leftrightarrow (x -3)(x + 3) = 0$$ $$x = \pm 3$$

Значение $x = 3$ соответствует точке $A$, тогда подставим в уравнение прямой значение $x = -3$: $$f(-3) = -3(-3) + 13 = 9 + 13 = 22$$

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из рисунка видно:

• Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$
• Парабола проходит через точку $(0, -1)$

Используем формулу параболы через вершину: $$g(x) = a(x + 1)^2 - 2$$

Подставим точку $(0, -1)$: $$-1 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$g(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Корни уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 7 \end{cases}$$

2. Вычислим ординату точки $B$: $$g(7) = 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 49 + 14 - 1 = 62$$

Ответ 62

График "левой" параболы является графиком функции $f(x)$, так как её ветви более узкие засчёт коэффициента $a = 3$ при старшей степени $x^2$.

Теперь определим коэффициенты функции $g(x)$. Ветви "правой" параболы пересекают ось $Ox$ в точках $x_1 = 1, x_2 = 3$, где $x_1, x_2$ – корни уравнения $g(x) = 0$.

Тогда представим функию в виде: $$g(x) = a(x - 1)(x - 3)$$

Подставим в неё координаты точки $A$: $$g(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -1 \Leftrightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$$

Тогда функцию $g(x)$ запишем в виде: $$g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 3x^2 - 7x + 1$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + \tfrac{1}{2})(x - 2) = 0$$

Значение $x = 2$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-0,5$.

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} g(-3) &= 2 \\ g(-1) &= -2 \\ g(2) &= 7 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a(-3)^2 + b(-3) + c = 2 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = -2 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9a - 3b + c = 2 \\ a - b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = 7 \end{cases}$$

Решим систему:

1. Вычтем второе уравнение из первого: $$8a - 2b = 4 \quad (1)$$
2. Вычтем второе уравнение из третьего: $$3a + 3b = 9 \quad (2)$$
3. Упростим уравнения: $$\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + b = 3 \end{cases}$$
4. Сложим уравнения: $$5a = 5 \Rightarrow a = 1$$
5. Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $$1 + b = 3 \Rightarrow b = 2$$
6. Найдём $c$ из второго исходного уравнения: $$1 - 2 + c = -2 \Rightarrow c = -1$$

Таким образом: $$g(x) = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ $$D = 81 - 56 = 25$$ $$x = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \quad \text{(точка A)} \\ x_2 = 7 \quad \text{(точка B)} \end{cases}$$