Точки пересечения графиков

Найдём коэффициент $k$: $$f(1) = -3 \Leftrightarrow\frac{k}{1} = -3 \Leftrightarrow k = -3$$

Найдём коэффициенты $a$ и $b$: $$\begin{cases} g(1) = -3 \\ g(-4) = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = -3\\ -4a + b = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -3 -a\\ -4a -3 -a = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} b = -3 - a\\ -5a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -0,2\\ b = -2,8 \end{cases}$$

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравняем их между собойц: $$\frac{-3}{x} = -0,2x - 2,8 \Leftrightarrow \frac{-15}{x} = -x - 14 \Leftrightarrow-15 = -x^2 - 14x \Leftrightarrow x^2 + 14x - 15 = 0$$ $$(x - 1)(x + 15) = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad x = -15$$

Абсцисса $x = 1$ соответствует точке пересения графиков $(1, -3)$, значит абсцисса $x = -15$ соответствует искомой точке пересечения. Найдём ординату второй точки пересечения, подставив найденную точку в функцию $f(x)$: $$\frac{-3}{-15} = 0,2$$

Найдём коэффициенты $a, b, c$. $$\begin{cases} g(-4) = 1\\ g(-1) = 7\\ g(-3) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(-4)^2 -4b + c = 1\\ a(-1)^2 - b + c = 7\\ a(-3)^2 -3b + c = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 16a - 4b + c = 1\\ a - b + c = 7\\ 9a - 3b + c = 5 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 16a - 4b + (7 - a + b) = 1\\ 9a - 3b + (7 - a + b) = 5 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 15a - 3b + 7 = 1\\ 8a - 2b + 7 = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 15a - 3b = -6\\ 8a - 2b = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 5a - b = -2\\ 4a - b = -1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ (5a - b) - (4a - b) = -2 - (-1)\\ b = 4a + 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + (4a + 1)\\ a = -1\\ b = 4(-1) + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 + 1 - 3\\ a = -1\\ b = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1\\ b = -3\\ c = 5 \end{cases}$$

Запишем функцию: $$g(x) = -x^2 -3x + 5$$ Найдём абсциссы точек пересечения графиков: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow -3x -4 = -x^2 - 3x + 5 \Leftrightarrow x^2 -9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$ Абсцисса $x = -3$ соответствует известной точке пересечения $(-3; 5)$, значит $x = 3$ – искомая абсцисса второй точки пересечения.

Найдём коэффициенты прямых:

$$f_1(x) = k_1x + b_1$$ $$\begin{cases} f_1(-1) = 2\\ f_1(-2) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -k_1 + b_1 = 2\\ -2k_1 + b_1 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b_1 = 2 + k_1\\ -2k_1 + 2 + k_1 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} k_1 = 3\\ b_1 = 5 \end{cases}$$

Запишем первую функцию: $$f_1(x) = 3x + 5$$

Найдём коэффициенты второй прямой:

$$f_2(x) = k_2x + b_2$$ $$\begin{cases} f_2(1) = -1\\ f_2(3) = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k_2 + b_2 = -1\\ 3k_2 + b_2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b_2 = -1 - k_2\\ 3k_2 + -1 - k_2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} k_2 = 2,5\\ b_2 = -3,5 \end{cases}$$

Запишем вторую функцию: $$f_2(x) = 2,5x - 3,5$$

Найдём абсциссу точки их пересечения: $$f_1(x) = f_2(x) \Leftrightarrow 3x + 5 = 2,5x - 3,5 \Leftrightarrow 0,5x = -8,5 \Leftrightarrow x = -17$$

Найдём коэффициенты $a, b, c$.

Заметим, что координаты вершины параболы равны $(2, -4)$ (то есть $x_0 = 2, y_0 = -4$) и $a = 1$.

Составим уравнение: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 1\cdot(x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$$

Найдём коэффициент $k$: $$g(1) = 3 \Leftrightarrow 1\cdot k = 3 \Rightarrow k = 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x = 3x \Leftrightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 7$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $7$.

Установим соответствия между графиками и функциями.

Вершина заданной параболы имеет абсциссу: $$x_{\text{в}} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$$

Она отрицательна, следовательно синий график является графиком функции $f(x)$.

Найдём коэффициенты $a, b, c$ функции $g(x)$.

Коэффициент $c$ равен -4, так как левая ветвь параболы пересекает ось $Oy$ в точке -4.

Для того чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$ составим систему уравнений и подставим известные координаты точек.

Нам известны 2 точки: $$(1; 1), (3; -1)$$

$$\begin{cases} a\cdot(1)^2 + b\cdot 1 - 4 = 1\\ a\cdot(3)^2 + b\cdot 3 - 4 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = 5\\ 9a +3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a +3b = 15\\ 9a +3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a + 3b = 15\\ 6a = -12 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 3\cdot(-2) + 3b = 15\\ a = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = 7\\ a = -2 \end{cases}$$

Найдём точки пересечения графиков: $$-4x^2 - 7x - 4 = -2x^2 + 7x - 4 \Leftrightarrow 2x^2 + 14x = 0 \Leftrightarrow x(x + 7) = 0$$ $$x = -7 \text{ или } x = 0$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-7$.