Тригонометрические уравнения с заменой

Преобразуем уравнение, используя формулу: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

Подставим в исходное уравнение: $$8 \cdot (4^2)^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 2 \cdot 4 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 8 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$

Сделаем замену $t = 4^{2\sin^2 x} > 0$: $$8t - \frac{8}{t} = 63 \text{ домножим на } t \neq 0$$ $$8t^2 - 63t - 8 = 0$$ $$D = 3969 + 256 = 4225$$ $$t = \frac{63 \pm 65}{16}$$ $$t = 8 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{8} < 0\quad \text{(не подходит)}$$

Обратная замена: $$4^{2\sin^2 x} = 8 \Leftrightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$$ $$4\sin^2 x = 3 \Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решения уравнения: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 5\pi = \frac{14\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$$

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$

б) $\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$

$\left(*\right) \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pi k, k \in Z$

Сделаем замену $t = \frac{1}{\sin x}$:

Исходное уравнение примет вид:

$$t^2 + t - 2 = 0$$

Замечание: можно решить это уравнение с помощью Дискриминанта или теоремы Виета, но также можно заметить, что сумма коэффициентов равна 0, поэтому корни будут равны: $t = 1, \quad t = \frac{c}{a}$:

$$\left[\begin{array}{ll} t = 1\\ t = -2 \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{ll} \tfrac{1}{\sin x} = 1 \\\\ \tfrac{1}{\sin x} = -2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \sin x = 1 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\\\ x = -\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\\\ x = -\tfrac{5\pi}{6} + 2 \pi k \end{array}\right., k \in Z$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z;$

а) Используем формулу приведения: $$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin 2x = -2\sin x \cos x.$$

Подставляем в уравнение: $$4\sqrt{3} \cos^3 x = -2\sin x \cos x.$$

Переносим все в одну сторону и группируем: $$4\sqrt{3} \cos^3 x + 2\sin x \cos x = 0.$$ $$2\cos x \left( 2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \sin x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$$ $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49$$ $$t = \frac{1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$$ $$t_1 = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \quad \text{— нет решений},$$ $$t_2 = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом: $$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$- 3\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку:

$${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3}; -\frac{5\pi}{2}}.$$

Ответ: а) ${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3};-\frac{5\pi}{2}}.$

а) Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу приведения: $$\cos\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2x.$$

Подставляем в исходное уравнение: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = \sin 2x.$$ Выразим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = 2\sin x \cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$4\sqrt{3} \sin^3 x - 2\sin x \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$: $$2\sin x \left( 2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\sin x = 0$ $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cos^2 x - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \cos x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 + t - 2\sqrt{3} = 0.$$

Дискриминант: $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49.$$ $$t_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}.$$

Корни: $$t_1 = \frac{-1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$t_2 = \frac{-1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-8}{4\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} < -1 \quad \text{— нет решений}.$$

Таким образом: $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, получаем корни: $${\pi k, \ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{9\pi}{2}; 6\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$5\pi; \frac{35\pi}{6}; 6\pi.$$

Ответ: а) ${\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${5\pi;\ \frac{35\pi}{6};\ 6\pi}.$