Электродинамика

1. Тепловая мощность, выделяемая в нити, выражается стандартным соотношением Джоуля–Ленца: $$P=UI.$$

2. По экспериментальной ВАХ считываем режим, соответствующий мощности $P_1=24\,\text{Вт}$: напряжение $U_1=12\,\text{В}$, ток $I_1=2\,\text{А}$.

3. Эквивалентное сопротивление нити при этих параметрах находим по закону Ома: $$R_1=\frac{U_1}{I_1}=6\ \text{Ом}.$$

4. Для меньшей мощности $P_2=8{,}4\,\text{Вт}$ из того же графика получаем напряжение $U_2=6\,\text{В}$ и ток $I_2=1{,}4\,\text{А}$, следовательно $$R_2=\frac{U_2}{I_2}\approx \frac{6}{1{,}4}\approx 4{,}3\ \text{Ом}.$$

5. Сопротивление в первом приближении линейно растёт с температурой нити: $R=\beta T$. Отсюда отношение температур равно отношению сопротивлений: $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{R_2}{R_1}\quad\Rightarrow\quad T_2=T_1\,\frac{R_2}{R_1} =3100\cdot\frac{4{,}3}{6}\approx 2{,}222\times 10^{3}\ \text{К}.$$

1. После установления режима постоянного тока конденсатор заряжен и ток через него не течёт. Ток источника задаётся законом Ома для замкнутой цепи: $$I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_0},\qquad R_0=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$ — эквивалентное сопротивление внешней ветви (параллель $R_1$ и $R_2$).

2. Так как конденсатор включён параллельно $R_1$ и $R_2$, напряжение на его обкладках равно падению напряжения на параллели: $$U=I R_0=\frac{\mathcal{E} R_0}{r+R_0} =\frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{\,r\,(R_1+R_2)+R_1 R_2\,}.$$

3. Энергия поля заряженного конденсатора: $$W=\frac{C U^{2}}{2} =\frac{C}{2}\left(\frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}\right)^{2}.$$ Отсюда выражение для ёмкости: $$C =2W\!\left(\frac{\,r(R_1+R_2)+R_1 R_2\,}{\mathcal{E} R_1 R_2}\right)^{\!2}.$$

Подстановка численных данных: $$C=120\cdot 10^{-6}\! \left(\frac{\,0{,}4\,(4+6)+24\,}{24\cdot 10}\right)^{\!2} \approx 1{,}6\cdot 10^{-6}\ \text{Ф}.$$

Мощность: $P=I^{2}R$.

1) Ключ разомкнут. По закону Ома для полной цепи $$I_1=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2+r} =\frac{\mathcal{E}}{2R+r},$$ где $R=R_1=R_2=R_3$. Мощность, выделяемая на $R_2$: $$P_1=I_1^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(2R+r)^{2}}.$$

2) Ключ замкнут. Параллельная ветвь $R_2\parallel R_3$ эквивалентна $$R_{23}=\frac{R}{2}.$$ Ток в цепи: $$I_{II}=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_{23}+r} =\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r}.$$ Поскольку $R_2=R_3$, ток делится поровну, и через $R_2$ течёт $$I_2=\frac{I_{II}}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathcal{E}}{\frac{3}{2}R+r} =\frac{\mathcal{E}}{3R+2r}.$$ Тогда мощность на $R_2$ после замыкания: $$P_{II}=I_2^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(3R+2r)^{2}}.$$

Отношение мощностей. $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3R+2r}{2R+r}\right)^{2}.$$ Подставляя $R=1\ \text{Ом},\ r=0{,}5\ \text{Ом}$: $$\frac{P_1}{P_{II}} =\left(\frac{3\cdot 1+2\cdot 0{,}5}{2\cdot 1+0{,}5}\right)^{2} =\left(\frac{4}{2{,}5}\right)^{2} =\frac{64}{25}\approx 2{,}56.$$

Резисторы $R_1$ и $R_3$ образуют одну последовательную ветвь, $R_2$ и $R_4$ — вторую; получившиеся ветви соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление внешней части цепи: $$R_0=\frac{(R_1+R_3)\,(R_2+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4} =\frac{(1+5)(2+10)}{1+2+5+10}=4\ \text{Ом}.$$

Тогда по закону Ома для полной цепи общий ток во внешней цепи $$I=\frac{\mathcal{E}}{R_0+r} =\frac{9}{4+2}=1{,}5\ \text{А}.$$

Напряжение на параллельных ветвях равно $$U=I\,R_0=1{,}5\cdot 4=6\ \text{В}.$$

Токи в каждой ветви по закону Ома для участка: $$I_1=\frac{U}{R_1+R_3}=\frac{6}{1+5}=1\ \text{А},\qquad I_2=\frac{U}{R_2+R_4}=\frac{6}{2+10}=0{,}5\ \text{А}.$$

Мощность, рассеиваемая на резисторе $R_2$, $$N_2=I_2^{\,2}R_2=(0{,}5)^2\cdot 2=0{,}5\ \text{Вт}.$$

1. Сначала ион разгоняется в электрическом поле. Сила тяжести и размеры частицы малы, поэтому учитываем только действие электрического поля. Работа поля связывает начальную и конечную кинетическую энергию (по теореме о кинетической энергии):

$$A = \Delta W_k = W_{k,\,\text{кон}} - W_{k,\,0}$$

где $A = qU$ — работа электрического поля, $U$ — разность потенциалов. Пусть $v$ — скорость, которую набирает частица:

$$qU = \frac{m v^2}{2}$$

(Начальной энергией при вылете из источника пренебрегаем.)

1. После этого частица со скоростью $v$ движется в магнитном поле по окружности радиуса $R$. Сила Лоренца даёт центростремительное ускорение:

$$F_2 = qvB$$ Второй закон Ньютона для движения по окружности:

$$m \frac{v^2}{R} = q v B$$ $$\frac{m v}{q R} = B$$

Теперь комбинируем обе формулы. Выразим скорость: $$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Подставим $v$ в формулу для магнитной индукции: $$B = \frac{m}{q R} \cdot \sqrt{2qU/m} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{m}{q} 2U}$$

При численных значениях ответ будет: $$B = 0{,}5~\text{Тл}$$