Законы Сохранения

Из графика определяем периоды колебаний:

• Период первого тела: $T_1 = 2$ (полный цикл за 2 единицы времени)
• Период второго тела : $T_2 = 1$ (полный цикл за 1 единицы времени)

Частота обратно пропорциональна периоду: $$\nu = \frac{1}{T}$$

Отношение частот: $$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1} = 2$$

Импульс тела равен произведению массы на скорость: $$p = mv$$

Составим отношение импульсов: $$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{v_1}{v_2}$$

Выразим отношение скоростей: $$\frac{v_1}{v_2} = \frac{p_1/p_2}{m_1/m_2} = \frac{5}{2{,}5} = 2$$

Кинетическая энергия тела: $$E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}$$

Составим отношение кинетических энергий: $$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{m_1 v_1^2}{2}}{\frac{m_2 v_2^2}{2}} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{v_1^2}{v_2^2}$$

Выразим отношение квадратов скоростей: $$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{E_1/E_2}{m_1/m_2} = \frac{1{,}6}{2{,}5} = 0{,}64$$

Найдём отношение скоростей: $$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$

Полная механическая энергия в начальный момент: $$E_0 = mgh = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 10 = 20 \text{ Дж}$$

Потеря энергии составила 10%, значит сохранилось 90% энергии: $$E_{\text{сохр}} = 0{,}9 \cdot E_0 = 0{,}9 \cdot 20 = 18 \text{ Дж}$$

В момент падения вся сохранившаяся энергия является кинетической: $$E_{\text{к}} = E_{\text{сохр}} = 18 \text{ Дж}$$

Начальная кинетическая энергия: $$E_{\text{к}_0} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{0{,}2 \cdot 6^2}{2} = \frac{0{,}2 \cdot 36}{2} = 3{,}6 \text{ Дж}$$

Потенциальная энергия в верхней точке: $$E_{\text{п}} = mgh = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 1{,}5 = 3 \text{ Дж}$$

Потеря энергии: $$\Delta E = E_{\text{к}_0} - E_{\text{п}} = 3{,}6 - 3 = 0{,}6 \text{ Дж}$$