Оптика

Увеличение линзы определяется формулой: $G=\dfrac{H}{h}=\dfrac{f}{d}$. Откуда получаем: $$f=G\cdot d=14\,\text{см}\cdot \frac{1}{2{,}5}=5{,}6\,\text{см}.$$ Фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения связаны формулой: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d},$$ откуда $$F=\frac{fd}{f+d}=\frac{5{,}6\,\text{см}\cdot 14\,\text{см}}{5{,}6\,\text{см}+14\,\text{см}} =4\,\text{см}.$$

Ответ: $4$.

Период решетки d = 5 см : 4000 = 12500 нм. Максимальный порядок дифракционных максимумов определяется из соотношения $k\le \frac{d}{\lambda}=\frac{12500}{500}=25.$ То есть, $k_{\text{макс}}=25.$

Ответ: 10.

Период решетки $d=2\,\text{см}:4000=500\,\text{нм}$. Максимальный порядок дифракционных максимумов определяется из соотношения $$k=\frac{d}{\lambda}.$$ Так как $\lambda=500\,\text{нм}$, то $$k_{\max}=\frac{5000}{500}=10.$$ То есть, $k_{\max}=10$.

Ответ: $10$.

Запишем условие дифракционного максимума: $d\sin\varphi=m\lambda$.

Так как для малых углов $\sin\varphi \approx \tg\varphi=\frac{b}{L}$, то $\frac{db}{L}=m\lambda$.

Запишем данное условие для красного и фиолетового света: $$\frac{db_k}{L}=m\lambda_k;\qquad \frac{db_\phi}{L}=m\lambda_\phi.$$

При вычитании получаем: $$\frac{d(b_k-b_\phi)}{L}=m(\lambda_k-\lambda_\phi).$$

Тогда расстояние от дифракционной решетки до экрана равно $$L=\frac{d(b_k-b_\phi)}{m(\lambda_k-\lambda_\phi)}=\frac{0{,}1\cdot 0{,}12}{500\cdot 3\cdot (760-380)\cdot 10^{-9}}\approx 21\ \text{м}.$$

Ответ: 21 м.

Запишем условия максимума для $1$-го и $2$-го порядков: $$\begin{cases} d\sin\varphi_1 = 1\lambda,\\[2mm] d\sin\varphi_2 = 2\lambda, \end{cases} \qquad\Rightarrow\qquad \begin{cases} \tan\varphi_1 \approx \sin\varphi_1 = \dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{c}{vd},\\[3mm] \tan\varphi_2 \approx \sin\varphi_2 = \dfrac{2\lambda}{d}=\dfrac{2c}{vd}. \end{cases}$$

На экране максимумы смещены на расстояния $x_1=f\tan\varphi_1$ и $x_2=f\tan\varphi_2$ от центрального максимума, где $f$ — фокусное расстояние линзы. По условию $$x_2-x_1=\Delta x=18\ \text{мм}.$$ Тогда $$\frac{2fc}{vd}-\frac{fc}{vd}=\Delta x \;\Rightarrow\; d =\frac{f c}{v\,\Delta x}.$$ Подставим численные значения: $$d=\frac{0{,}21\cdot 3\cdot 10^8}{8{,}0\cdot 10^{14}\cdot 18\cdot 10^{-3}} \approx 4{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{м}=4{,}4\ \text{мкм}.$$

Ответ: $4{,}4$.