Тепловой баланс, тепловое равновесие

Удельная теплоемкость льда равна $c_л=2100$ Дж/(кг$\cdot$К), удельная теплота плавления льда равна $\lambda=330000$ Дж/кг.

Вначале вычислим количество теплоты, необходимое для нагревания начальной массы $m$ льда от $-10$ С до $0$ С и ее плавления при $0^0$С:

$Q_1=c_лm(t_2-t_1)+\lambda m=2100\cdot0,1\cdot10+330000\cdot0,1=35100$ Дж.

Для плавления добавленной массы $M$ льда при $0$ С необходимо $Q_2=\lambda M=330000\cdot0,2=66000$ Дж, это больше чем $Q-Q_1=100000-35100=64900$ Дж, так что весь добавленный лед не растает, и в калориметре в состоянии равновесия будет находиться смесь воды и льда при температуре $t_3=0$ С.

Ответ: $t_3=0$ С.

1.  Во время теплообмена и установления теплового равновесия в калориметре теплая вода будет охлаждаться, отдавая теплоту шару изо льда с вмороженным в него железным шариком. Часть этой теплоты пойдет на нагревание шара до 0 °C, а оставшаяся  — на плавление льда при 0 °C и возможное нагревание системы до некоторой положительной температуры, если теплоты охлаждения воды будет достаточно для этого.

2.  Вначале найдем количество теплоты, которое может отдать теплая вода при охлаждении до 0 °C: $$Q_{\text{охл}}=c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_2-0)=4{,}2\cdot0{,}2\cdot30=25{,}2\text{ кДж}.$$

1. Затем найдем количество теплоты, необходимое для нагревания составного шара и плавления всего льда при $0^\circ$ С. Для этого вначале найдем массу железа $m_{\text{ж}}$ и льда $m_{\text{л}}$: $$m_{\text{ж}}=\rho_{\text{ж}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=7800\cdot\frac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot0{,}02^3\approx0{,}261\text{ кг},$$ $$m_{\text{л}}=\rho_{\text{л}}\cdot\frac{4}{3}\pi(R^3-r^3)=900\cdot\frac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot(0{,}03^3-0{,}02^3)\approx0{,}072\text{ кг}.$$

Количество теплоты, необходимое на нагревание железа и плавление льда: $$Q_{\text{нагр}}+Q_{\text{пл}}=(c_{\text{ж}}m_{\text{ж}}+c_{\text{пл}}m_{\text{л}})(0-t_1)+\lambda m_{\text{л}}$$ $$=(0{,}46\cdot0{,}261+2{,}1\cdot0{,}072)\cdot20+330\cdot0{,}072\approx29{,}2\text{ кДж}.$$

1. Таким образом, $Q_{\text{охл}}<Q_{\text{наг,}}+Q_{\text{пл}}$, так что весь лед при $0^\circ$ С не растает, и в равновесии установится температура $t=0^\circ$ С.

Ответ: $t=0^\circ$ С.

1.  Во время теплообмена и установления теплового равновесия в калориметре теплая вода будет охлаждаться, отдавая теплоту шару изо льда с вмороженным в него железным шариком. Часть этой теплоты пойдет на нагревание шара до 0 °C, а оставшаяся  — на плавление льда при 0 °C и возможное нагревание системы до некоторой положительной температуры, если теплоты охлаждения воды будет достаточно для этого.

2.  Вначале найдем количество теплоты, которое может отдать теплая вода при охлаждении до 0 °C: $$Q_{\text{охл}}=c_{\text{в}}m(t_2-0)=4200\cdot0{,}27\cdot30\approx34\text{ кДж}$$ (здесь $c_{\text{в}}$ — удельная теплоемкость воды).

3.  Затем найдем количество теплоты, необходимое для нагревания составного шара и плавления всего льда при 0 °C. Для этого вначале найдем массу железа $m_{\text{ж}}$ и льда $m_{\text{л}}$: $$m_{\text{ж}}=\rho_{\text{ж}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3\approx32{,}7\text{ г}\quad (\text{здесь } \rho_{\text{ж}} — \text{плотность железа});$$ $$m_{\text{л}}=\rho_{\text{л}}\cdot\frac{4}{3}\pi(R^3-r^3)\approx98\text{ г}.$$

Далее имеем: $$Q_{\text{наг,}}=(c_{\text{ж}}m_{\text{ж}}+c_{\text{л}}m_{\text{л}})(0-t_1)\approx4{,}5\text{ кДж},$$ $$Q_{\text{пл}}=\lambda m_{\text{л}}\approx32{,}3\text{ кДж}$$ (здесь $c_{\text{ж}}$ и $c_{\text{л}}$ — удельная теплоемкость железа и льда, $\lambda$ — удельная теплота плавления льда).

Таким образом, $Q_{\text{наг,}}<Q_{\text{охл}}<Q_{\text{наг,}}+Q_{\text{пл}}$, так что весь лед при $0^\circ$С не растает, и в равновесии установится температура $t=0^\circ$С.

Ответ: $t=0^\circ$С.

1.  Из условия задачи понятно, что происходит в системе при получении смеси льда и воды, реализующей реперную точку шкалы Цельсия  — 0 ºС. Сначала вся масса воды с удельной теплоемкостью $c_в$ охлаждается от 25 ºС до 0 ºС на ΔT  =  25 ºС, а затем 75 процентов массы воды превращается в лед при температуре 0 ºС, отдавая свою теплоту кристаллизации (удельная теплота кристаллизации воды λ равна удельной теплоте плавления льда). В этом процессе отданное водой количество теплоты равно: $$Q=c_{\text{в}}\cdot m\cdot\Delta T+\lambda\cdot\left(\frac{3m}{4}\right)=4200\cdot0{,}3\cdot25+3{,}3\cdot10^5\cdot0{,}225=105{,}75\text{ кДж}.$$

2.  Теплота Q, отбираемая от воды в данном процессе, идет по условию только на испарение массы $m_{\text{ж}}=\rho_{\text{ж}}V$ жидкого азота: $$Q=mL=\rho_{\text{ж}}VL=808\cdot197600V=159660{,}8\cdot V\text{ кДж}.$$

1. Таким образом, надо израсходовать объем жидкого азота, равный $$V=\frac{105{,}75/159660{,}8}{8}\approx6{,}623\cdot10^{-4}\text{ м}^3 \approx 662\text{ см}^3.$$

Ответ: $V\approx 662\text{ см}^3$.