Тепловой баланс, тепловое равновесие

Рассмотрим первый случай, в котором теплообмен происходит между двумя порциями воды. так очевидно что холодная вода будет принимать от горячей воды энергию равную $Q_\text{х}=сm_\text{х}(t_1-t_\text{х})$, где $t_1$ – конечная температура смеси. В свою очередь горячая вода будет отдаст энергию равную $Q_\text{г}=сm_\text{г}(t_\text{г}-t_1)$. Тогда уравнение теплового баланса примет вид:
$$Q_\text{х}=Q_\text{г}\Rightarrow сm_\text{х}(t_1-t_\text{х})=сm_\text{г}(t_\text{г}-t_1)$$ Теперь рассмотрим второй процесс, в котором теплообмен происходит между паром и холодной водой. Пар в результате теплообмена будет конденсироваться, выделяя количество теплоты равное $Q_\text{п}=m_\text{г}L$, а выделившееся вода будет так же охлаждаться и нагревать холодную воду, при этом выделится $Q_\text{г}=сm_\text{г}(t_\text{г}-t_2)$, где $t_2$ – конечная температура смеси. В свою очередь холодная вода примет количество теплоты равное $Q_\text{х}=сm_\text{х}(t_1-t_\text{х})$. Тогда уравнение теплового баланса примет вид:
$$Q_\text{п}+Q_\text{г}=Q_\text{х} \Rightarrow сm_\text{г}(t_\text{г}-t_2)+m_\text{г}L=сm_\text{х}(t_2-t_\text{х})$$ Из получившейся системы уравнений выразим искомую массу холодной воды $m_\text{x}$, с учётом того что $\Delta t=t_2-t_1$:
$$m_\text{x}=\frac{m_\text{г}(L-c\Delta t)}{c\Delta t}=\frac{0.42\cdot(2.3\cdot10^6-4200\cdot50)}{4200\cdot50}=4.18\,\text{кг}$$

Ответ: $4.18\,\text{кг}.$

Количество теплоты, полученное при нагреве льда, находящегося в калориметре, до температуры $t=0^\circ$C: $Q_1=c_1m_1(0-t_1)(1)$.

Количество теплоты, полученное льдом при его таянии при $0^\circ$C: $Q_2=\lambda m_1(2)$.

Количество теплоты, отданное водой при охлаждении ее до $0^\circ$C : $Q= c_2m_2(t_2-0)$ (3).

Уравнение теплового баланса: $Q=Q_1+Q_2$ (4).

Объединяя (1)–(4), получаем:

$$m_1=\frac{m_2c_2(t_2-0)}{c_1(0-t_1)+\lambda} =\frac{4\cdot 4200\cdot 20}{2100\cdot 5+3.3\cdot 10^5}\approx 1\text{ кг.}$$

Ответ: $m_1\approx 1$ кг.

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре, до температуры $t$: $Q=c_1m_1(t-t_1). \ (1)$

Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до $0^\circ$C: $Q_1=c_2m_2(0-t_2). \ (2)$

Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при $0^\circ$C: $Q_2=-\lambda m_2. \ (3)$

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из воды, до температуры $t$: $Q_3=c_1m_2(t-0). \ (4)$

Уравнение теплового баланса: $Q+Q_1+Q_2+Q_3=0. \ (5)$

Объединяя формулы (1)–(5), получаем:

$$t_1=\frac{m_1c_1t-m_2\left(c_2(t_2-0)+\lambda+c_1(0-t)\right)}{m_1c_1} =\frac{1\cdot 2100\cdot(-2)-0{,}015\cdot(4200\cdot 20+3{,}3\cdot 10^5+2100\cdot 2)}{1\cdot 2100} \approx -5^\circ C.$$

Ответ: $t_1\approx -5^\circ C$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре, от температуры $t_1=-10^\circ$C до температуры $t=-2^\circ$C:

$Q=c_1m_1(t-t_1).$

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении воды от $t_2=30^\circ$C до $t_0=0^\circ$C:

$Q_1=c_2m_2(t_2-t_0).$

Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при $0^\circ$C:

$Q_2=\lambda m_2.$

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из воды, от температуры $t_0=0^\circ$C до температуры $t=-2^\circ$C:

$Q_3=c_1m_2(t_0-t).$

Уравнение теплового баланса: $Q=Q_1+Q_2+Q_3.$

Объединяя полученные уравнения, получаем:

$$m_1=\frac{m_2(c_2t_2+\lambda+c_1(t_0-t))}{c_1(t-t_1)}= \frac{0{,}05\cdot(4200\cdot30+3{,}3\cdot10^5+2100\cdot2)}{2100\cdot(-2+10)} \approx 1{,}37\ \text{кг.}$$

Ответ: $1{,}37$ кг.

Вначале вычислим количество теплоты, необходимое для нагревания начальной массы $m$ льда от $-18^\circ$C до $0^\circ$C и плавления всей массы льда $(m+M)$ при $0^\circ$C:

$Q_1=c_лm(t_2-t_1)+\lambda(m+M)=2100\cdot0,2\cdot18+330000\cdot0,302=107220$ Дж $<Q,$

так что оставшееся количество теплоты пойдет на нагревание полученной воды:

$Q-Q_1=c_в(m+M)(t_3-t_2).$

Отсюда:

$t_3=t_2+\dfrac{Q-Q_1}{c_в(m+M)}=\left(0+\dfrac{120000-107220}{4200\cdot0,302}\right)^\circ$С $\approx 10^\circ$С.

Ответ: $t_3\approx+10^\circ$С.